Dreifachintegral Massebestimmu < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Fr 13.06.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | | Der Körper B [mm] \subset \IR [/mm] wird von den Ebenen z=0, z=x-y [mm] \ge [/mm] 0 und der Kreiszylinderfläche [mm] x^2+y^2=4 [/mm] begrenzt. Bestimmen Sie die Masse m(B):= [mm] \integral\integral\integral{p(x,y,z) dV}, [/mm] wenn die Dichtefunktion [mm] p(x,y,z):=3z(x^2+y^2) [/mm] gegeben ist. Verwenden Sie Zylinderkoordinaten! |
Hallo,
ich wollte mal nachfragen, ob die Grenzen wie ich sie mir dachte so stimmen. Ich denke, dass ich dann mit der Integration wieder allein klar komme. Also ich dachte:
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] x-y und [mm] \wurzel{4-x^2} \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x und [mm] -\wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{2}
[/mm]
Stimmt das jetzt so, oder habe ich was falsch interpretiert?
Lg Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 13.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich entdecke gerade noch so eine Problem. Diesmal ist eine Jordanbereich gegeben, aber ich kann irgendwie keine obere Grenze für x ablesen und das mit dem y ist auch komisch, weil es auf einer Seite als Betrag und auf der anderen Seite der Ungleichung als Quadrat auftaucht. Kann mir da mal jemand einen Tipp für eine Lösungsstrategie geben? Wie komme ich denn nun an die konkreten Grenzen?
Der Jordanbereich lautet: J:={(x,y) [mm] \in \IR^2: [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] |y| [mm] \le x^2+y^2 \le [/mm] 1}.
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> Ich entdecke gerade noch so eine Problem. Diesmal ist eine
> Jordanbereich gegeben, aber ich kann irgendwie keine obere
> Grenze für x ablesen und das mit dem y ist auch komisch,
> weil es auf einer Seite als Betrag und auf der anderen
> Seite der Ungleichung als Quadrat auftaucht. Kann mir da
> mal jemand einen Tipp für eine Lösungsstrategie geben? Wie
> komme ich denn nun an die konkreten Grenzen?
>
> Der Jordanbereich lautet: [mm]\ J:=\ \{(x,y) \in \IR^2: x \ge 0 \wedge|y| \le x^2+y^2 \le1\ \}[/mm].
Die Ungleichung |y| [mm]\le x^2+y^2 \le[/mm] 1 kann in
der Form [mm] x^2+|y|^2-|y| \ge [/mm] 0
geschrieben werden. Nehmen wir einmal vorläufig [mm] y\ge [/mm] 0 an
und betrachten statt der Ungleichung die Gleichung:
[mm] x^2+y^2-y [/mm] = 0
Dies ist eine Kreisgleichung !
Das sollte dir ein Stück weiter helfen.
Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 13.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Also [mm] x^2+y^2-y=x^2+(y-0,5)^2=0,25
[/mm]
Damit liegt der Mittelpunkt bei M(0;0,5) und der Kreis hat einen Radius von r=0,5.
Daraus würde jetzt folgen, dass 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,5 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
Dann wäre der Jordanbereich also ein Halbkreis wobei er im 1. Quadranten liegt und der Mittelpunkt genau auf der y-Achse ist.
Dann gäbe es ja kein y < 0. Aber habe ich jetzt schon irgendwie mit eingebaut, dass [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1 sein soll? Und was ist mit der Tatsache, dass es eigentlich keine Kreisgleichung sondern eine Ungleichung ist?
Lg Anne
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> Also [mm]x^2+y^2-y=x^2+(y-0,5)^2=0,25[/mm]
müsste etwas anders lauten: [mm] x^2+y^2-y=0 \gdw x^2+(y-0,5)^2=0,25
[/mm]
>
> Damit liegt der Mittelpunkt bei M(0;0,5) und der Kreis hat
> einen Radius von r=0,5. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Daraus würde jetzt folgen, dass 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,5 und 0 [mm]\le[/mm] y
> [mm]\le[/mm] 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Dann wäre der Jordanbereich also ein Halbkreis wobei er im
> 1. Quadranten liegt und der Mittelpunkt genau auf der
> y-Achse ist.
nö
> Dann gäbe es ja kein y < 0.
Diese muss man separat behandeln:
Für y<0 ergibt sich der Kreis [mm] x^2+y^2+y=0 [/mm]
> Aber habe ich jetzt schon
> irgendwie mit eingebaut, dass [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1 sein soll?
Nein, doch dies bedeutet, dass P(x,y) von O(0/0)
einen Abstand r [mm] \le [/mm] 1 haben muss.
> Und was ist mit der Tatsache, dass es eigentlich keine
> Kreisgleichung sondern eine Ungleichung ist?
Die Ungleichungen besagen, dass der Punkt P(x/y)
ausserhalb der beiden kleinen Kreise liegen muss.
Damit wird die Form des Integrationsgebiets klar:
es sieht so aus wie ein sogenanntes "Schustermesser"
mit R=1, [mm] r_1=r_2=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Lg Al-Chwarizmi
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Hallo!
Also ich sitze an der selbe Aufgabe und komme mit dem Bereich für y noch nicht ganz klar.
Also ich habe verstanden, wie der Bereich in der x,y-Ebene aussieht.
Es ergibt sich daraus: 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 .
und y liegt erstmal im bereich [-1 ; 1]. Allerdings muss y ja außerdem auch außerhalb dieser 2 Halbkreise liegen. Aber wie kann ich das als Ungleichung angeben (also ... [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] ...) ?
Ich versuche mich schon eine ganze Weile daran und bin z.B. auf
- [mm] \wurzel{0,25 - x^2} [/mm] - 0,5 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{0,25 - x^2} [/mm] + 0,5
gekommen, aber anhand der zeichung erkennt man ja, das das nicht stimmt...
Könnte mir das jemand nochmal erklären?
Vielen Dank im voraus, die_conny
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> Hallo!
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> Also ich sitze an der selbe Aufgabe und komme mit dem
> Bereich für y noch nicht ganz klar.
> Also ich habe verstanden, wie der Bereich in der x,y-Ebene
> aussieht.
> Es ergibt sich daraus: 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 .
> und y liegt erstmal im bereich [-1 ; 1]. Allerdings muss y
> ja außerdem auch außerhalb dieser 2 Halbkreise liegen. Aber
> wie kann ich das als Ungleichung angeben (also ... [mm]\le[/mm] y
> [mm]\le[/mm] ...) ?
> Ich versuche mich schon eine ganze Weile daran und bin
> z.B. auf
>
> - [mm]\wurzel{0,25 - x^2}[/mm] - 0,5 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \wurzel{0,25 - x^2}[/mm]
> + 0,5
> gekommen, aber anhand der zeichung erkennt man ja, das das
> nicht stimmt...
>
> Könnte mir das jemand nochmal erklären?
>
> Vielen Dank im voraus, die_conny
Hallo Conny !
Für die Integration über dieses Gebiet ist es sinnvoll,
die äussere Integration über y und die innere über x
zu führen, also:
[mm] \integral_{y=-1}^{1}{dy} \integral_{x=...}^{...}{f(x,y)\ dx} [/mm] und nicht [mm] \integral_{x=0}^{1}{dx}\integral_{y=...}^{...}{f(x,y)\ dy}
[/mm]
Im zweiten Fall sind Fallunterscheidungen und Intervall-
aufteilungen nötig. Diese Komplikationen kann man ganz
umgehen mit der anderen Integrationsreihenfolge.
Ich erhalte für die Integrationsgrenzen:
[mm] \integral_{y=-1}^{1}{dy} \integral_{x=\wurzel{|y|-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{f(x,y)\ dx}
[/mm]
hab' mir das zuerst separat für positive bzw. negative y überlegt:
alle Kreisgleichungen nach x aufgelöst !
LG al-Chwarizmi
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Danke für die Antwort!
Also ich habe das ganze jetzt mit diesen Grenzen ausgerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist:
[mm] \integral_{y=-1}^{1}{} \integral_{x=\wurzel{|y| - y^2}}^{\wurzel{1- y^2}}{\bruch{x}{1+ (x^2 + y^2)^2} dx} [/mm] dy
nun habe ich t:= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] substituiert: (habe 0,5 gleich vor das integral gezogen, was sich aus der stammfunktion 2x ergibt)
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{y=-1}^{1}{} \integral_{t=|y|}^{1}{\bruch{1}{1+ t^2} dt} [/mm] dy
[mm] =\bruch{1}{2} \integral_{y=-1}^{1}{arctan(1) - arctan|y| } [/mm] dy
und an dieser stelle habe ich das Integral auseinander gezogen, also y von -1 bis 0 und nochmal von 0 bis 1, damit ich den betrag wegbekomme.
= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{y=-1}^{0}{arctan(1) - arctan(-y) } [/mm] dy + [mm] \bruch{1}{2} \integral_{y=0}^{1}{arctan(1) - arctan(y) } [/mm] dy
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] [arctan(1)* y - y* arctan(-y) -0,5 * ln(1 + [mm] y^2)]
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [arctan(1)* y - y* arctan(y) +0,5 * ln(1 + [mm] y^2)]
[/mm]
(wobei das erste von -1 bis 0 und das zweite von 0 bis 1 geht)
und das ergibt aber nun (erster Summand aus erster Klammer und 2. Summand aus der zweiten)
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] (arctan(1) - arctan(1) + 0.5 * ln(2)) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (arctan(1) - arctan(1) + 0.5 * ln(2)) = 0.5 * ln(2) + 0.5 *ln(2) = ln(2)
Ist diese Rechnung so in Ordnung oder habe ich da einen Fehler gemacht?
Ich wäre dankbar, wenn sich das jemand nochmal anschauen könnte.
Vielen Dank im Voraus, die_conny
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> Danke für die Antwort!
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> Also ich habe das ganze jetzt mit diesen Grenzen
> ausgerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig
> ist:
>
> [mm]\integral_{y=-1}^{1}{} \integral_{x=\wurzel{|y| - y^2}}^{\wurzel{1- y^2}}{\bruch{x}{1+ (x^2 + y^2)^2} dx}[/mm] dy
>
> nun habe ich t:= [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] substituiert:
> (habe 0,5 gleich vor das integral gezogen, was sich aus der stammfunktion 2x ergibt)
>
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{y=-1}^{1}{} \integral_{t=|y|}^{1}{\bruch{1}{1+ t^2} dt}[/mm] dy
>
> [mm]=\bruch{1}{2} \integral_{y=-1}^{1}{arctan(1) - arctan|y| }[/mm] dy
>
> und an dieser stelle habe ich das Integral auseinander
> gezogen, also y von -1 bis 0 und nochmal von 0 bis 1, damit
> ich den betrag wegbekomme.
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \integral_{y=-1}^{0}{arctan(1) - arctan(-y) }[/mm]
> dy + [mm]\bruch{1}{2} \integral_{y=0}^{1}{arctan(1) - arctan(y) }[/mm] dy
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[/mm] [arctan(1)* y - y* arctan(-y) -0,5 * ln(1 +
> [mm]y^2)][/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [arctan(1)* y - y* arctan(y) +0,5 * ln(1 +
> [mm]y^2)][/mm]
> (wobei das erste von -1 bis 0 und das zweite von 0 bis 1 geht)
>
> und das ergibt aber nun (erster Summand aus erster Klammer
> und 2. Summand aus der zweiten)
> [mm]=\bruch{1}{2}[/mm] (0.5 * ln(2) - 0.5 * ln(2)) = 0.25 * ln(2) - 0.25 * ln(2)
>
> Kann ich an der Stelle den Betrag setzen, also dass es dann
> gerade 0,5 * ln(2) ergibt? Oder habe ich da einen Fehler
> gemacht?
Du darfst da wohl nicht einfach ein Vorzeichen so umdrehen...
Die Terme sind in Bezug auf Vorzeichen ziemlich verzwickt.
Rechne nochmals alles sorgfältig durch.
Beide Teilintegrale ergeben den gleichen Wert (dies muss
schon wegen der Symmetrie f(x,-y)=f(x,y) des Integranden
so sein !), nämlich je [mm] \bruch{ln(2)}{4} [/mm] .
Insgesamt haben wir also [mm] \bruch{ln(2)}{2} [/mm] .
>
> Ich wäre dankbar, wenn sich das jemand nochmal anschauen
> könnte.
>
> Vielen Dank im Voraus, die_conny
schönen Gruß al-Chw.
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> Der Körper B [mm]\subset \IR[/mm]
müsste eigentlich heissen: B [mm]\subset \IR^3[/mm]
> wird von den Ebenen z=0, z=x-y [mm]\ge[/mm]
> 0 und der Kreiszylinderfläche [mm]x^2+y^2=4[/mm] begrenzt.
> Bestimmen Sie die Masse m(B):=
> [mm]\integral\integral\integral{p(x,y,z) dV},[/mm] wenn die
> Dichtefunktion [mm]p(x,y,z):=3z(x^2+y^2)[/mm] gegeben ist. Verwenden
> Sie Zylinderkoordinaten!
> Hallo,
>
> ich wollte mal nachfragen, ob die Grenzen wie ich sie mir
> dachte so stimmen. Ich denke, dass ich dann mit der
> Integration wieder allein klar komme. Also ich dachte:
>
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] x-y
> [mm]\wurzel{4-x^2} \le[/mm] y [mm]\le[/mm] x
Man müsste hier Fallunterscheidungen machen. Das Resultat wäre:
für [mm] -\wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{2} [/mm] : [mm] -\wurzel{4-x^2} \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x
für [mm] \wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 : [mm] -\wurzel{4-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{4-x^2} [/mm]
> [mm]-\wurzel{2} \le[/mm] x [mm]\le \wurzel{2}[/mm]
richtig: [mm] -\wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
>
> Stimmt das jetzt so, oder habe ich was falsch
> interpretiert?
>
> Lg Anne
Hallo Anne,
ich bin zwar auf deine Frage in Bezug auf die Integrations-
grenzen in kartesischen Koordinaten eingegangen; es ist
aber bestimmt besser und einfacher, mit Zylinderkoordinaten
zu rechnen. Dann muss z.B. der Winkel von [mm] -\bruch{3\ \pi}{4}
[/mm]
bis [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] laufen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Fr 13.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Bei Zylinderkoordinaten gilt doch:
x=r*cos [mm] \alpha, [/mm] y=r*sin [mm] \alpha, [/mm] z=z
Dann gilt also für z weiterhin: 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] r*(cos [mm] \alpha [/mm] -sin [mm] \alpha)
[/mm]
Wie kommst du jetzt auf das Intervall für den Winkel?
Aus z=x-y [mm] \ge [/mm] 0 weiß ich mit z=0, dass cos [mm] \alpha=sin \alpha [/mm] und das soll ja nun gerade größer Null sein, also gilt es für alle [mm] k*\bruch{\pi}{4} [/mm] wobei das k aus den Natürlichen Zahlen ist...
Aus der 3. Gleichung [mm] x^2+y^2=4 [/mm] folgt dann (r*cos [mm] \alpha)^2+(r*sin \alpha)^2=r^2*((cos \alpha)^2+(sin \alpha)^2)=r^2=4
[/mm]
Kann ich daraus schlussfolgern -2 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2?
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Hallo dieanne,
> Bei Zylinderkoordinaten gilt doch:
>
> x=r*cos [mm]\alpha,[/mm] y=r*sin [mm]\alpha,[/mm] z=z
>
> Dann gilt also für z weiterhin: 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] r*(cos [mm]\alpha[/mm]
> -sin [mm]\alpha)[/mm]
>
> Wie kommst du jetzt auf das Intervall für den Winkel?
> Aus z=x-y [mm]\ge[/mm] 0 weiß ich mit z=0, dass cos [mm]\alpha=sin \alpha[/mm]
> und das soll ja nun gerade größer Null sein, also gilt es
> für alle [mm]k*\bruch{\pi}{4}[/mm] wobei das k aus den Natürlichen
> Zahlen ist...
Das stimmt leider nicht:
[mm]\cos\left(\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right) \gdw \cos\left(\alpha\right)-\sin\left(\alpha\right) = 0 [/mm]
Nach einiger Rechnerei ergibt sich:
[mm]\cos\left(\alpha\right)-\sin\left(\alpha\right) = 0 \gdw \wurzel{2}\cos\left(\alpha+\bruch{\pi}{4}\right)=0[/mm]
Daraus ergeben sich die Lösungen:
[mm]\alpha+\bruch{\pi}{4}=\bruch{2k+1}{2}\pi[/mm]
[mm]\gdw \alpha=k\pi + \bruch{\pi}{4}[/mm]
Weiter muß gelten [mm]\cos\left(\alpha+\bruch{\pi}{4}\right)\ge0[/mm]
Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm]\alpha+\bruch{\pi}{4} \in \left[\bruch{4k-1}{2}\pi, \bruch{4k+1}{2}\pi\right][/mm], also
[mm]\alpha \in \left[2k\pi-\bruch{3\pi}{4},2k\pi+\bruch{\pi}{4}\right][/mm]
Nun ergibt sich für [mm]k=0[/mm]: [mm]\alpha \in \left[-\bruch{3\pi}{4},+\bruch{\pi}{4}\right][/mm]
>
> Aus der 3. Gleichung [mm]x^2+y^2=4[/mm] folgt dann (r*cos
> [mm]\alpha)^2+(r*sin \alpha)^2=r^2*((cos \alpha)^2+(sin \alpha)^2)=r^2=4[/mm]
>
> Kann ich daraus schlussfolgern -2 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2?
Da [mm]r \ge 0[/mm] ist, gilt: [mm]\red{0}\le r \le 2[/mm]
Gruß
MathePower
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> Bei Zylinderkoordinaten gilt doch:
>
> x=r*cos [mm]\alpha,[/mm] y=r*sin [mm]\alpha,[/mm] z=z
>
> Dann gilt also für z weiterhin: 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] r*(cos [mm]\alpha[/mm]
> -sin [mm]\alpha)[/mm]
>
> Wie kommst du jetzt auf das Intervall für den Winkel?
Ich habe mir eine Skizze in der x-y-Ebene gemacht.
Der Zylinder erscheint als Kreis um O(0/0) mit Radius 2.
Die Spurgerade der schiefen Ebene (also ihre Schnittge-
rade mit der Ebene z=0) ist die Gerade y=x,
also die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten.
Dann sind die Grenzen für den Winkel [mm] \alpha [/mm] leicht abzulesen.
Der Bereich mit den positiven z liegt rechts (bzw. unterhalb)
der Geraden y=x.
> Aus z=x-y [mm]\ge[/mm] 0 weiß ich mit z=0, dass cos [mm]\alpha=sin \alpha[/mm]
> und das soll ja nun gerade größer Null sein, also gilt es
> für alle [mm]k*\bruch{\pi}{4}[/mm] wobei das k aus den Natürlichen
> Zahlen ist...
>
> Aus der 3. Gleichung [mm]x^2+y^2=4[/mm] folgt dann (r*cos
> [mm]\alpha)^2+(r*sin \alpha)^2=r^2*((cos \alpha)^2+(sin \alpha)^2)=r^2=4[/mm]
>
> Kann ich daraus schlussfolgern -2 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2?
r muss nur von 0 bis 2 laufen !
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Also ich sitze auch an dieser aufgabe ;) und bin mir aber bei meinem Lösungsweg noch nciht ganz sicher.
Also der Bereich sieht jetzt folgendermaßen aus:
B = { [mm] (r,\alpha,z) \in \IR^3 [/mm] : [mm] (5/4)\pi \le \alpha \le (9/4)\pi [/mm] : 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2 : 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le r*(cos(\alpha) [/mm] - [mm] sin(\alpha)) [/mm] }
ist das richtig so?
und dann ergibt sich:
m(B) = [mm] \integral_{\alpha=(5/4)\pi}^{(9/4)\pi}{} \integral_{r=0}^{2}{} \integral_{z=0}^{r*(cos(\alpha) - sin(\alpha))}{3z * r^2 dz} [/mm] dr [mm] d\alpha
[/mm]
(denn [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ist für zylinderkoordinaten =1 * [mm] r^2)
[/mm]
= [mm] \integral_{\alpha=(5/4)\pi}^{(9/4)\pi}{} \integral_{r=0}^{2}{[(3/2) z^2 *r^2] dr} d\alpha [/mm] (mit z von 0 bis [mm] r*(cos(\alpha) [/mm] - [mm] sin(\alpha)) [/mm] )
= -3 [mm] \integral_{\alpha=(5/4)\pi}^{(9/4)\pi}{} \integral_{r=0}^{2}{r^4 cos(\alpha)*sin(\alpha) dr} d\alpha [/mm] (nach einsetzen und konstanten vor das integral ziehen)
= -3 [mm] \integral_{\alpha=(5/4)\pi}^{(9/4)\pi}{( \bruch{32}{5} cos(\alpha)*sin(\alpha) - 0 ) d\alpha} [/mm] (nach einsetzen der grenzen für r in die stammfunktion [mm] \bruch{1}{5}r^5 cos(\alpha)*sin(\alpha))
[/mm]
= [mm] -\bruch{96}{5} \integral_{\alpha=(5/4)\pi}^{(9/4)\pi}{ cos(\alpha)*sin(\alpha) d\alpha} [/mm]
= [mm] -\bruch{96}{5} [/mm] * 0,25 [mm] \integral_{\alpha=(5/4)\pi}^{9\pi}{ cos(\alpha)*sin(\alpha) d\alpha} [/mm] (habe die obere grenze verändert, damit sich das ergebnis später nicht weghebt)
Nun habe ich t:= [mm] sin(\alpha) [/mm] substituiert und es ergibt sich:
= [mm] -\bruch{24}{5} \integral_{sin((5/4)\pi) = -\bruch{\wurzel{2}}{2}}^{sin(9\pi) = 0}{(t) dt}
[/mm]
= [mm] -\bruch{24}{5} [\bruch{1}{2}* t^2 [/mm] ] (von [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] bis 0)
= [mm] -\bruch{24}{5} [/mm] * [mm] (-\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) = [mm] \bruch{6}{5}
[/mm]
Ist diese Rechnung so richtig oder habe ich da einen Fehler gemacht?
Könnte sich das jemand nochmal anschauen? Wäre echt sehr dankbar dafür!
Vielen Dank im Voraus, die_conny
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Dankeschön für die Hilfen!!!
Also wenn ich das r nun mit dazu nehme, dann komme ich auf:
-32 [mm] \integral_{(5/4)\pi}^{(9/4)\pi}{(cos(\alpha) * sin(\alpha)) d\alpha}
[/mm]
(weil dann ja 1/6 * [mm] r^6 [/mm] als stammfunktion rauskommt und dann ist das für r=0 immernoch 0 und für r=2 ist es 32/3. und vor dem integral ist die -3 ja geblieben)
Aber wenn ich nun so weitermache, dann komme ich immernoch nicht auf [mm] 16\pi. [/mm] ich schätze, dass meine substitution das problem ist, denn damit fallen ja meine [mm] \pi [/mm] weg aus meinem integral.
Aber ich weiß einfach nicht, wo mein fehler liegt...
Könntest du mir da nochmal einen denkanstoß geben?
vielen dank im voraus und für die bisherige hilfe!, die_conny
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Guten Abend !
Das erste Integral (nach z) ist nun doch:
[mm]\ \integral_{z=0}^{r*(cos \alpha - sin \alpha)}3*r^3*z\ dz[/mm]
Stammfunktion dazu: [mm] \bruch{3}{2}*r^3*z^2
[/mm]
Grenzen eingesetzt:
[mm]\ \integral_{z=0}^{r*(cos(\alpha)-sin(\alpha))}3*r^3*z\ dz[/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*r^5*(cos \alpha [/mm] - sin [mm] \alpha)^2
[/mm]
Nun die Integration nach r:
[mm]\ \integral_{r=0}^{2}\bruch{3}{2}*r^5*(cos \alpha - sin \alpha)^2 dr[/mm]
= [mm]\bruch{3}{2}*(cos \alpha - sin \alpha)^2 * \bruch{r^6}{6}[/mm] [mm] |_{0}^{2} [/mm] = [mm] 16*(cos(\alpha)-sin(\alpha))^2
[/mm]
Jetzt bleibt dies noch über [mm] \alpha [/mm] zu integrieren !
Denk' dabei an den trigonometrischen Pythagoras und
an die Formel [mm] sin(2*\alpha)=2*sin(\alpha)*cos(\alpha) [/mm] !
... jetzt geh' ich Fussball gucken
al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Di 17.06.2008 | | Autor: | die_conny |
Dankeschön!
Mein fehler war eigentlich nur der, dass ich für [mm] (sin(\alpha))^2 [/mm] + [mm] (cos(\alpha))^2 [/mm] = 1 vergessen habe, die +1 hinzuschreiben.... oh man... aber dass 2sinxcosx = sin2x hat auch sehr geholfen ;) an sowas hab ich gar nicht gedacht...
Vielen Dank!
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Hallo Anne!
Für z und für x sind die Bedingungen richtig.
Für y kommt meiner Meinung fogende Bedingung heraus:
[mm] -sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2).
[/mm]
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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