Duale Basis finden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V := [mm] \{p \in \mathbb{R}[x] | deg(p) \le 3\}$ [/mm] der R-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und Grad [mm] $\le [/mm] 3$ und [mm] $\mathcal{B} [/mm] = (1, x, [mm] x^2, x^3)$ [/mm] eine Basis von V.
Sei [mm] $I_{a,b}: [/mm] V [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] p [mm] \mapsto \int_a^b [/mm] p(x) dx$
Genau eine der folgenden Familien ist eine Basis von [mm] $V^{\ast}$. [/mm] Begründen Sie welche.
[mm] $\mathcal{A}^{\ast}_{1} [/mm] = [mm] (I_{0,2},I_{-2,2},I_{-1,1},I_{-2,0}), \mathcal{A}^{\ast}_{2}= (I_{0,2},I_{0,3},I_{-2,0},I_{-1,1}), \mathcal{A}^{\ast}_{3} [/mm] = [mm] (I_{-2,2},I_{-2,0},I_{0,3},I_{0,2})$ [/mm] |
Die Duale Basis ist ja so definiert:
Wenn [mm] $(a^{\ast}_{1}, a^{\ast}_{2}, a^{\ast}_{3}, a^{\ast}_{4})$ [/mm] Basis von [mm] $V^{\ast}$ [/mm] und [mm] $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ [/mm] Basis von V, dann ist
[mm] $a^{\ast}_{i}(a_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$.
[/mm]
Aber wenn ich das nun in bei meiner Aufgabe anwende, erhalte ich z.B.:
[mm] $I_{0,2}(1) [/mm] = [mm] \int_0^2 [/mm] 1 dx = x [mm] \big |^{2}_0 [/mm] = 2$
damit wären doch schonmal [mm] $\mathcal{A}^{\ast}_{1}, \mathcal{A}^{\ast}_{2}$ [/mm] keine Basis.
aber [mm] $I_{-2,2} [/mm] = [mm] \int_{-2}^2 [/mm] 1 dx = x [mm] \big |^{2}_{-2} [/mm] = 4$
Was mache ich falsch? Ich muss doch einfach nur die Basisvektoren [mm] $(1,x,x^2,x^3)$ [/mm] in die Funktion $I$ einsetzen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 04.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]V := \{p \in \mathbb{R}[x] | deg(p) \le 3\}[/mm] der
> R-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in [mm]\mathbb{R}[/mm]
> und Grad [mm]\le 3[/mm] und [mm]\mathcal{B} = (1, x, x^2, x^3)[/mm] eine
> Basis von V.
>
> Sei [mm]I_{a,b}: V \rightarrow \mathbb{R}, p \mapsto \int_a^b p(x) dx[/mm]
>
> Genau eine der folgenden Familien ist eine Basis von
> [mm]V^{\ast}[/mm]. Begründen Sie welche.
>
> [mm]\mathcal{A}^{\ast}_{1} = (I_{0,2},I_{-2,2},I_{-1,1},I_{-2,0}), \mathcal{A}^{\ast}_{2}= (I_{0,2},I_{0,3},I_{-2,0},I_{-1,1}), \mathcal{A}^{\ast}_{3} = (I_{-2,2},I_{-2,0},I_{0,3},I_{0,2})[/mm]
>
> Die Duale Basis ist ja so definiert:
> Wenn [mm](a^{\ast}_{1}, a^{\ast}_{2}, a^{\ast}_{3}, a^{\ast}_{4})[/mm]
> Basis von [mm]V^{\ast}[/mm] und [mm](a_1, a_2, a_3, a_4)[/mm] Basis von V,
> dann ist
> [mm]a^{\ast}_{i}(a_j) = \delta_{ij}[/mm].
>
> Aber wenn ich das nun in bei meiner Aufgabe anwende,
> erhalte ich z.B.:
>
> [mm]I_{0,2}(1) = \int_0^2 1 dx = x \big |^{2}_0 = 2[/mm]
> damit
> wären doch schonmal [mm]\mathcal{A}^{\ast}_{1}, \mathcal{A}^{\ast}_{2}[/mm]
> keine Basis.
nein. Das Problem fängt schon damit an, dass Du von DER dualen Basis
sprichst. Die Basis eines Vektorraums ist aber nicht eindeutig, und Basen
müssen i.a. weder aus normierten noch zueinander orthogonalen Vektoren
bestehen!
> aber [mm]I_{-2,2} = \int_{-2}^2 1 dx = x \big |^{2}_{-2} = 4[/mm]
>
> Was mache ich falsch? Ich muss doch einfach nur die
> Basisvektoren [mm](1,x,x^2,x^3)[/mm] in die Funktion [mm]I[/mm]
> einsetzen, oder?
Nein; das würde nur dann so gehen, wenn die [mm] $I_{a}^b$ [/mm] entsprechend dieses
Satzes
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Duale_Basis,
der (dummerweise) in der Definition des Dualraums benutzt wird, gegeben
wären. Wer sagt denn, dass Du genau *eine solche Basis* des Dualraums
gegeben hast? In der Aufgabe steht aber noch nichtmal etwas davon,
dass die (vorgegebene) Basis des Dualraums orthonormiert ist.
(Erinnerung: Hier rede ich von DER Basis, weil wir laut Aufgabe nur genau
EINE Familie auswählen können, die EINE Basis des Dualraums ist. Von
DER dualen Basis zu reden macht i.a. keinen Sinn, es macht i.a. nur Sinn,
von EINER Basis des Dualraums zu reden!)
Was mir übrigens viel mehr ins Auge sticht, ist, dass doch wohl
[mm] $\mathcal{A}^\ast_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{A}^\ast_3$
[/mm]
als Basis nicht in Frage kommen. Warum?
Hier gilt doch wohl
1. [mm] $\left(\int_{-2}^0 + \int_0^2\right) \text{irgendwas}(x)dx=\int_{-2}^2 \text{irgendwas}(x)dx$
[/mm]
2. Wegen 1. ist doch wohl augenscheinlich
[mm] $(I_{-2,0},I_{0,2},I_{-2,2})$
[/mm]
keine linear unabhängige Familie!
(Eine Basis ist aber eine linear unabhängige Familie, und damit ist auch
jede Teilfamilie linear unabhängig!)
Formuliere das mal sauberer aus inklusive Beweis!
P.S. Am Besten zeigst Du auch noch, dass [mm] $\mathcal{A}^\ast_2$ [/mm] linear unabhängig ist!
P.P.S. Du siehst oben quasi auch, dass (meistens) ein [mm] $I_{a}^b$ [/mm] keinem der [mm] $e^\ast_j$ [/mm] entspricht.
Wobei ich da nur mal grob drübergeguckt habe; es ist also nicht
auszuschließen, dass ich was übersehen haben könnte. Aber das kannst
Du ja eh selbst nachrechnen...
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Antwort.
Um die lineare Unabhängigkeit von [mm] $A_2^{\ast}$ [/mm] zu zeigen bin ich so vorgegangen:
Sei [mm] $p_1(x) [/mm] = 1, [mm] p_2(x) [/mm] = x, [mm] p_3(x) [/mm] = [mm] x^2, p_4(x) [/mm] = [mm] x^4$
[/mm]
[mm] $\lambda_1 \int_0^2 p_1(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 \int_0^3 p_1(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_1(x) [/mm] + [mm] \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_1(x) [/mm] = 0$
[mm] $\lambda_1 \int_0^2 p_2(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 \int_0^3 p_2(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_2(x) [/mm] + [mm] \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_2(x) [/mm] = 0$
[mm] $\lambda_1 \int_0^2 p_3(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 \int_0^3 p_3(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_3(x) [/mm] + [mm] \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_3(x) [/mm] = 0$
[mm] $\lambda_1 \int_0^2 p_4(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 \int_0^3 p_4(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_4(x) [/mm] + [mm] \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_4(x) [/mm] = 0$
Wenn ich das nun ausrechne erhalte ich:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Die Matrix kommt natürlich nicht direkt raus, aber wenn man sie umformt.
Kann ich das so schreiben? Ist das richtig und geht es auch kürzer?
Noch eine weitere Frage, wenn ich nun eine weitere Basis von [mm] $V^{\ast}$ [/mm] finden will, ist dann [mm] $C^{\ast} [/mm] := [mm] (I_1, I_2, I_3, I_4)$ [/mm] automatisch eine Basis von [mm] $V^{\ast}$wenn
[/mm]
[mm] $I_i(b_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] mit [mm] $b_j$ [/mm] aus der oben gegeben Basis von V [mm] $(1,x,x^2,x^3)$ [/mm] oder müsste ich dann auch noch auf lineare unabhängigkeit überprüfen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Sa 06.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Danke für deine Antwort.
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> Um die lineare Unabhängigkeit von [mm]A_2^{\ast}[/mm] zu zeigen bin
> ich so vorgegangen:
>
> Sei [mm]p_1(x) = 1, p_2(x) = x, p_3(x) = x^2, p_4(x) = x^4[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \int_0^2 p_1(x) + \lambda_2 \int_0^3 p_1(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_1(x) + \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_1(x) = 0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \int_0^2 p_2(x) + \lambda_2 \int_0^3 p_2(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_2(x) + \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_2(x) = 0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \int_0^2 p_3(x) + \lambda_2 \int_0^3 p_3(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_3(x) + \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_3(x) = 0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \int_0^2 p_4(x) + \lambda_2 \int_0^3 p_4(x)+ \lambda_3 \int_{-2}^0 p_4(x) + \lambda_4 \int_{-1}^{-1} p_4(x) = 0[/mm]
>
> Wenn ich das nun ausrechne erhalte ich:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Matrix kommt natürlich nicht direkt raus, aber wenn
> man sie umformt.
>
> Kann ich das so schreiben? Ist das richtig und geht es auch
> kürzer?
Das sieht vernuenftig aus. Ich waere aber so angefangen: Seien [mm] $\lambda_{i}\in [/mm] K$ so, dass [mm] $\sum_{i=1}^{4}\lambda_{i}I_{i}=0$. [/mm] Dann gilt ... und jetzt kaemen Deine $4$ Gleichungen und alles nachfolgende.
>
> Noch eine weitere Frage, wenn ich nun eine weitere Basis
> von [mm]V^{\ast}[/mm] finden will, ist dann [mm]C^{\ast} := (I_1, I_2, I_3, I_4)[/mm]
> automatisch eine Basis von [mm]V^{\ast}[/mm]wenn
> [mm]I_i(b_j) = \delta_{ij}[/mm] mit [mm]b_j[/mm] aus der oben gegeben Basis
> von V [mm](1,x,x^2,x^3)[/mm] oder müsste ich dann auch noch auf
> lineare unabhängigkeit überprüfen?
Wenn es Teil einer Hausaufgabe ist, dann wuerde ich begruenden, dass es sich um eine Basis handelt; das ist ja nicht so aufwendig.
>
>
> lg
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Ja die Aufgabe geht weiter und zwar soll ich nun die Darstellungsmatrix [mm] $M_{A^{\ast},B^{\ast}}(\delta^{\ast})$ [/mm] finden.
Wobei [mm] $\delta: [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] V$ der Ableitungsendomorphismus auf V ist.
Und [mm] $B^{\ast}$ [/mm] die duale Basis zu $B = [mm] (1,x,x^2,x^3)$
[/mm]
Wenn ich nun versuche [mm] $B^{\ast} [/mm] = [mm] (b_1^{\ast}, b_2^{\ast}, b_3^{\ast}, b_4^{\ast})$ [/mm] zu berrechnen, dann erhalte ich sowas:
[mm] $b_1^{\ast} [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] 1 dx = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b = a+1$
[mm] $b_1^{\ast} [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] x dx = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] b = a$
...
Also geht schonmal nicht, oder mache ich mal wieder was falsch?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Sa 06.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Ja die Aufgabe geht weiter und zwar soll ich nun die
> Darstellungsmatrix [mm]M_{A^{\ast},B^{\ast}}(\delta^{\ast})[/mm]
> finden.
> Wobei [mm]\delta: V \rightarrow V[/mm] der Ableitungsendomorphismus
> auf V ist.
> Und [mm]B^{\ast}[/mm] die duale Basis zu [mm]B = (1,x,x^2,x^3)[/mm]
>
> Wenn ich nun versuche [mm]B^{\ast} = (b_1^{\ast}, b_2^{\ast}, b_3^{\ast}, b_4^{\ast})[/mm]
> zu berrechnen, dann erhalte ich sowas:
>
> [mm]b_1^{\ast} = \int_a^b 1 dx = 0 \Rightarrow b = a+1[/mm]
>
> [mm]b_1^{\ast} = \int_a^b x dx = 1 \Rightarrow b = a[/mm]
> ...
> Also geht schonmal nicht, oder mache ich mal wieder was
> falsch?
Ich fuerchte es. Es gilt [mm] $\int_{a}^{b} [/mm] 1 dx= [mm] x\mid_{a}^{b}= [/mm] b-a$ und [mm] $\int_{a}^{b} [/mm] x dx= [mm] \frac{1}{2}x^{2}\mid_{a}^{b}= \frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}$. [/mm]
Obwohl Dein gemachter Ansatz vermutlich erfolgreich zu Ende gebracht werden kann, sehe ich keine Notwendigkeit die Funktionale als Integrale darzustellen. Oder hast Du einmal ueberprueft, ob die Funktionale aus dem vorhergehenden Teil die duale Basis bilden?
Jedenfalls koennte man auch einfach sagen "Sei [mm] $(b_1^{\ast}, b_2^{\ast}, b_3^{\ast}, b_4^{\ast})$ [/mm] die zu [mm] $(b_1, b_2, b_3, b_4^)$ [/mm] duale Basis" und sich direkt an die Berechnung der Matrix machen.
>
>
> lg
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Also ich habe jetzt eine duale Basis zu [mm] $(1,x,x^2,x^3)$ [/mm] gefunden, und zwar:
[mm] $(b_1^\*, b_2^\*, b_3^\*, b_4^\*)$
[/mm]
mit
[mm] $b_1(p)^\* [/mm] := a$
[mm] $b_2(p)^\* [/mm] := b$
[mm] $b_3(p)^\* [/mm] := c$
[mm] $b_4(p)^\* [/mm] := d$
da ja ein Polnyom 3. Grades die Form $a + bx + [mm] cx^2 [/mm] + [mm] dx^3$ [/mm] hat.
Jetzt hab ich allerdings wieder Schwirigkeiten die Darstellungsmatrix [mm] $M_{A^\*, B^\*} (\delta^\*)$ [/mm] zu finden.
Wobei ich noch vergessen habe dass [mm] $A^\* [/mm] = [mm] A_2^\* [/mm] = [mm] (I_{0,2}, I_{0,3}, I_{-2,0}, I_{-1,1})$ [/mm] ist.
Also muss ich nun ja folgendes berrechnen:
[mm] $\delta^\* (I_{0,2}) [/mm] = [mm] I_{0,2} \circ \delta [/mm] = [mm] I_{0,2}(\delta(p))$
[/mm]
usw...
Aber welches p soll ich da jetzt einsetzen? Einfach ein allgemeines Polynom?
dann würde ich ja z.b. folgendes bekommen
[mm] $\delta^\* (I_{0,2}) [/mm] = [mm] I_{0,2} \circ \delta [/mm] = [mm] I_{0,2}(\delta(a [/mm] + bx + [mm] cx^2 [/mm] + [mm] dx^3)) [/mm] = [mm] \int_0^2 [/mm] b + 2cx + [mm] 3dx^2 [/mm] dx = 2b + 4c + 8d = [mm] 0*b_1^\* [/mm] + [mm] 2*b_2^\* [/mm] + [mm] 4*b_3^\* [/mm] + [mm] 8*b_4^\*$
[/mm]
geht das so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 07.06.2015 | | Autor: | hippias |
Das scheint zu stimmen.
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Danke schonmal für deine Hilfe, aber eine Frage hätte ich noch :)
Wenn ich nun [mm] $M_{A^\*, A^\*} (\delta^\*)$ [/mm] berrechnen will.
Wieder mit [mm] $A^\* [/mm] = [mm] (I_{0,2}, I_{0,3}, I_{-2,0}, I_{-1,1})$ [/mm] und
$p(x) = a + bx + [mm] cx^2 [/mm] + [mm] dx^3 [/mm] $
Dann erhalte ich ja
[mm] $\delta^\* (I_{0,2}) [/mm] = 2b + 4c +8d$
Und dass muss ich ja als Linearkombination der Basisfunktionalen aus [mm] $A^\*$ [/mm] darstellen.
Nun habe ich also erstmal die Basisfunktionale ausgerechnet und erhalte
[mm] $I_{0,2} [/mm] = 2a + 2b + [mm] \frac{8}{3}c [/mm] + 4d$
[mm] $I_{0,3} [/mm] = 3a + [mm] \frac{9}{2}b [/mm] + 9c + [mm] 20\frac{1}{4}d$
[/mm]
[mm] $I_{-2,0} [/mm] = 2a - 2b + [mm] \frac{8}{3} [/mm] - 4d$
[mm] $I_{-1,1} [/mm] = 2a [mm] +\frac{2}{3}c$
[/mm]
Irgendwie kriege ich da aber keine Linearkombination hin...
Gibt es da irgendein System mit dem ich das leicht ausrechnen kann?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 09.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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