Dualraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:58 Mi 02.01.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:V\to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen [mm] \IK-Vektorraeumen. [/mm]
Es sei [mm] f^\*:\,W^\*\to V^\* [/mm] die induzierte Abbildung zwischen den Dualräumen.
Zeigen Sie:
a) f ist genau dann surjektiv, wenn [mm] f^\* [/mm] injektiv ist
b) f ist genau dann injektiv, wenn [mm] f^\* [/mm] surjektiv ist. |
Ich hab mir zunächst Gedanken zur induzierten Abbildung gemacht:
Es sei [mm] w\in\,W^\*. [/mm] Für dieses w gilt: [mm] w:\,W\to\IK [/mm] (Definition der Dualräume). Ich soll nun eine Abbildung finden, die dieses w auf ein v abbildet, für das gilt: [mm] v:V\to\IK. [/mm] Dies erreiche ich durch die Verknüpfung von w: [mm] W\to\IK [/mm] und [mm] f:V\to\,W:
[/mm]
[mm] f^\*(w)=w\circ\,f
[/mm]
Nun zum Beweis (zunächst von Teil b):
i) Es sei [mm] f:V\to\,W [/mm] injektiv. Wir wollen die Surjektivität von [mm] f^\* [/mm] zeigen, also: Zu jedem [mm] \varphi\in\,V^\* [/mm] gibt es ein [mm] \psi\in\,W^\* [/mm] mit [mm] f^\*(\psi)=\varphi
[/mm]
Sei also [mm] \varphi\in\,V^\* [/mm] beliebig.
Nach einsetzen der Definition von [mm] f^\* [/mm] ergibt sich:
[mm] \psi\circ\,f=\varphi
[/mm]
Setze nun die Injektivität von f vorraus:
[mm] \reightarrow [/mm] f(V) ist Unterraum von W
Für dimV:=m sei [mm] v_1,...v_m [/mm] eine Basis von V und [mm] w_i:=f(v_i) [/mm] für [mm] 1\le\,j\le\,m. [/mm] Dann ist Wegen der Injektivität [mm] w_1,...,w_n [/mm] eine Basis von f(V), die sich für dimW:=r durch [mm] w_{m+1},...,w_r [/mm] zu einer Basis von W ergänzen lässt.
Definiere dann:
[mm] \psi(w_i):=\varphi(v_i) [/mm] für [mm] 1\le\,j\le\,m
[/mm]
[mm] \psi(w_i):=0 [/mm] für [mm] m
Dieses [mm] \psi [/mm] erfüllt die Gleichung [mm] \psi\circ\,f=\varphi
[/mm]
ii) Sei [mm] f^\* [/mm] surjektiv. Dann ist zu zeigen: Jeder Vektor [mm] v\in\,V\backslash\left\{ 0 \right\} [/mm] wird unter f auf ein [mm] w\in\,W\backslash\left\{ 0 \right\} [/mm] abgebildet:
Sei also [mm] v\in\,V\backslash\left\{ 0 \right\} [/mm] beliebig. Dann kann man v zu einer Basis von V ergänzen und es existiert eine lineare Abbildung [mm] \varphi:V\to\IK [/mm] mit [mm] \varphi(v)=1 [/mm] und [mm] \varphi(v_i)=0 [/mm] für die übrigen Vektoren der ergänzten Basis. Da [mm] f^\* [/mm] surjektiv ist, existiert ein [mm] \psi [/mm] mit [mm] f^\*(\psi)=\psi\circ\,f=\varphi. [/mm] Da [mm] \varphi(v)=1\not=0, [/mm] muss auch [mm] f(v)\not=0 [/mm] sein.
q.e.d
Kann man das so machen? Bin irgendwie verunsichert...und bevor ich die a) angehe, hätte ich gerne eine Bestätigung...
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 08.01.2008 | | Autor: | bumerang |
kann sich keiner zu den Ausführungen von side äußern?
|
|
|
| |
|
> kann sich keiner zu den Ausführungen von side äußern?
Hallo bumerang,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ob das keiner kann oder keiner will, sei dahingestellt, Fakt ist: bisher hat sich niemand geäußert.
Der Tatsache, daß Du Dich hier anmeldest, einzig um diese Frage zu stellen, entnehme ich, daß auch Du Dich gerade mit dieser Aufgabe beschäftigst, und von daher wäre es doch sehr naheliegend, würdest Du Dich dazu inhaltlich äußern.
Was meinst Du denn zu sides Aufgabe? Side würde sich sicher für Deinen Kommentar interessieren.
Hast Du Anmerkungen, Fragen, Bedenken?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
