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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:41 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo zusammen
Ich habe ein Problem im Beweis von Dunford-pettis Theorem. Zur Erinnerung besagt dies Folgendes: [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] $K\subseteq L^1(P)$. [/mm] Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1) $K$ ist uniform integrabel
2) $K$ ist relativ kompakt in der schwachen Topologie
3) $K$ ist relativ schwach folgenkompakt
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Ich habe ein Problem mit der Implikation 1) -> 2). In meinem buch geht er so vor (Dellacherie-Meyer: Probabilities and Potential):
Es wählt sich einen Ultrafilter [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] auf dem schwachen Abschluss von $K$. Dann definiert er für $f [mm] \in [/mm] K$ und $E [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] : [mm] $I_{f}(E):= \int_{E}f [/mm] dP$. Die uniforme Integrabilität impliziert [mm] $\sup_{f\in K} [/mm] || f [mm] ||_1 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] (Das ist mir klar). Also ist [mm] $(I_{f}(E))_{(f,E)\in K \times \mathcal{F}}$ [/mm] beschränkt in [mm] $\IR$. [/mm] Jetzt sagt er:
"Therefore die Limit [mm] \lim_{\mathcal{U}} I_{f}(E) [/mm] = I(E) exists".
Ich verstehe beim besten Willen nicht warum!
Kann mir das jemand erklären?
Als nächstes kommt folgendes: Die Abbildung $E [mm] \to [/mm] I(E)$ ist eine additive und beschränkte Mengenfunktion. Widerum impliziert die uniforme Integrabilität, dass [mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0$ so dass [mm] $P(A)<\delta \Rightarrow [/mm] |I(E)| < [mm] \epsilon$. [/mm] (Dies ist mir klar).
Jetzt kommt wieder etwas (für mich) unverständliches: Dies impliziert, dass $I$ bezüglich $P$ absolutstetig ist und somit nach Radon-Nikodym $I(E)= [mm] \int_{E} \phi [/mm] dP$ für ein [mm] $\phi \in L^1$. [/mm]
Meine Frage hierzu: benötigt man bei Radon-Nikodym nicht Masse? und nicht einfach nur additive, beschränkte Mengenfunktionen.
Ich freue mich auf eure Hilfe
Gruss dazivo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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