Durchschnitt von Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Noctem09 |
| Aufgabe | | Gegeben Sind die Intervalle [mm] I_{n} [/mm] = [mm] [0,\bruch{1}{n}] [/mm] und [mm] J_{n} [/mm] = [mm] ]0,\bruch{1}{n}[ [/mm] mit n [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}. Welche Mengen erhält man, wenn man [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} [/mm] und [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}J_{n} [/mm] berechnet? |
Hallo,
ich habe Fragen zur obenstehenden Aufgabe.
Die Elemente der gebildeten unendlichen Durschnittsmengen müssen ja in allen Intervallen bzw. Mengen liegen.
Da bekomme ich folgendes heraus:
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} [/mm] = {0}
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}J_{n} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Richtig?
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben Sind die Intervalle [mm]I_{n}[/mm] = [mm][0,\bruch{1}{n}][/mm] und
> [mm]J_{n}[/mm] = [mm]]0,\bruch{1}{n}[[/mm] mit n [mm]\in \IN \setminus[/mm] {0}.
> Welche Mengen erhält man, wenn man
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}[/mm] und [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}J_{n}[/mm]
> berechnet?
> Hallo,
>
> ich habe Fragen zur obenstehenden Aufgabe.
> Die Elemente der gebildeten unendlichen Durschnittsmengen
> müssen ja in allen Intervallen bzw. Mengen liegen.
> Da bekomme ich folgendes heraus:
>
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}[/mm] = {0}
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}J_{n}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
>
> Richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das ist richtig.
Nun mußt Du es noch beweisen, damit Deine Chefs es auch glauben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe | | Geben Sie eine formale Begründung für $ [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}(0,\bruch{1}{n}) [/mm] $ = [mm] \emptyset. [/mm] |
Hallo,
bei mir ist die Aufgabe ähnlich, und ich habe schon etwas darüber nachgedacht. Leider ist die Aufgabe bei mir nicht so offensichtlich für mich ein Interval gewesen, warum meine Gedanken anfangs noch in die falsche Richtung gingen.
Überlegt habe ich mir, ich könnte mit einem Widerspruch ansetzen und annehmen, ich hätte auf der rechten Seite ein Interval, ausgedrückt durch eine Menge $A$ in der ein Wert $x$ liegt. Und dann wollte ich mit vollständiger Induktion zeigen, dass dieser Wert $x$ wie klein ich ihn auch wähle früher oder später ebenfalls rausgeschnitten wird, weshalb $A = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt.
Dabei bin ich mir aber noch nicht sicher, wie ich die Voraussetzung formulieren soll. Es würde in meinem Fall wohl auch reichen, ich versuche den letzten Absatz mal in formale Ausdrücke umzuwandeln.
gruss, dfx
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> Geben Sie eine formale Begründung für
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> Überlegt habe ich mir, ich könnte mit einem Widerspruch
> ansetzen
Hallo,
das ist eine gute Idee.
> und annehmen, ich hätte auf der rechten Seite ein
> Interval, ausgedrückt durch eine Menge [mm]A[/mm] in der ein Wert [mm]x[/mm]
> liegt.
Das ist zu speziell.
Nimm einfach an, der Durchschnitt wäre nicht leer, dh. es gibt ein [mm] x\in $\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,\bruch{1}{n})$.
[/mm]
> Und dann wollte ich mit vollständiger Induktion
> zeigen, dass dieser Wert [mm]x[/mm] wie klein ich ihn auch wähle
> früher oder später ebenfalls rausgeschnitten wird,
> weshalb [mm]A = \emptyset[/mm] gilt.
Der prinzipielle Gedanke, den Du hast, ist nicht übel - auch wenn ich an die vollständige induktion hier nicht so recht glaube...
Überlege Dir, daß Dein x zwischen 0 und 1 liegt, also 0<x<1.
Jetzt kommt es darauf an, was Du benutzen darfst - das weiß ich natürlich nicht ganz genau.
Ein möglicher Ablauf:
[mm] 1<\bruch{1}{x}, [/mm] und es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{x}< [/mm] N.
Nun weiter...
Gruß v. Angela
> Dabei bin ich mir aber noch nuicht sicher, wie ich die
> Voraussetzung formulieren soll. Es würde in meinem Fall
> wohl auch reichen, ich versuche den letzten Absatz mal in
> formale Ausdrücke umzuwandeln.
>
> gruss, dfx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hi,
das ist gerade dabei rausgekommen, wie ich mir ein paar Schnipsel aus dem Skript gesucht und zusammengebastelt habe:
Ist [mm] $\{(0, \bruch{1}{n}), n \in \IN\}$ [/mm] eine Intervallschachtelung [mm] $I_n$ [/mm] mit den Intervallgrenzen [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$, [/mm] dann muss gelten [mm] I_{n+1} \subseteq I_n. [/mm] Angenommen, es gäbe nun ein [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $x_0 \in \bigcap_{n=1}^{\infinity} [/mm] (0, [mm] \bruch{1}{n})$ [/mm] für das gilt [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infinity} [/mm] (0, [mm] \bruch{1}{n})=\{x_0\}$, [/mm] dann gilt [mm] $a_n [/mm] < [mm] x_0 [/mm] < [mm] b_n \Rightarrow b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] |I_n| [/mm] > [mm] x_0 [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dadurch ergibt sich aber offensichtlich ein Widerspruch zur Voraussetzung an [mm] $I_n$.
[/mm]
Ich denke, es wäre damit doch schon gezeigt. Na ja, dabei hätte ich nur die Definition des ISA ausgenutzt. Im Grunde heißt es doch, "sind alle Intervalle offen, dann besteht der Durchschnitt aus der leeren Menge."
Dein Ansatz ist mir begreiflich. Ich müsste nochmal nachschlagen, woher ich den Ansatz mit N [mm] \in \IN [/mm] kenne. Vermutlich würde ich da auch noch etwas finden, was mir weiterhilft.
> $ [mm] 1<\bruch{1}{x}, [/mm] $ und es gibt ein N $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] \bruch{1}{x}< [/mm] $ N.
Sollte das nicht etwa heißen 0 < [mm] \bruch{1}{x}? [/mm] Dann könnte ich mir auch vorstellen damit weiterzumachen. 
gruss, dfx
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum so umständlich mit Intervallschachtelung ??
Nimm an es gibt ein $ x [mm] \in \bigcap_{n=1}^{\infty}(0,\bruch{1}{n}) [/mm] $
Dann gilt: 0<x<1/n für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Nun gibt es aber ein N [mm] \in \IN [/mm] mit : 1/N <x, Widerspruch !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo,
Ja, man kann es sich auch sehr kompliziert machen, worin wohl ein Talent von mir liegt.
Danke euch beiden.
dfx
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