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Hallo zusammen
Habe soeben folgende Aufgabe gelöst, und möchte nun wissen, ob ich dies richtig gemacht habe:
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und eine Basis aller Eigenräume für die reelle Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -3\\ -1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Ist A diagonalisierbar?
Meine Lösung:
1) Char. Polynom: [mm] p_A(\lamda)=det(A-\lambda E)=\lambda^3*(\lambda-1)
[/mm]
2) EW: [mm] p_A(\lambda)=0 \gdw \lambda_1=0 [/mm] mit alg. VF = 3 & [mm] \lambda_2=1 [/mm] mit alg. VF = 1
3) EV: [mm] (A-\lambda_i E)x_i=0
[/mm]
Für [mm] \lambda_1: [/mm] Möglicher EV: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Für [mm] \lambda_2: [/mm] Möglicher EV: [mm] \vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Somit sind die Eigenräume:
[mm] Eig(A,0)=span{\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}}
[/mm]
[mm] Eig(A,1)=span\{\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
Eine mögliche Basis der Eigenräume sind also einfach die Eigenvektoren, oder?
4) diagonalisierbar: Hier bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, wie ich dies zeigen kann?
Es sollte ja ein P existieren, so dass [mm] A=P^{-1}*D*P. [/mm] (D ist Diagonalmatrix mit EW auf der Diagonalen)
[mm] P^{-1} [/mm] sollte doch die Matrix mit den EV in den Spalten sein. Aber da ich hier nur 3 EV habe, kann ich dies ja nicht machen. Somit würde ich daraus schliessen, dass A nicht diagonalisierbar ist.
Ich vermute aber, dass diese Begründung nicht wirklich gut ist... kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüsse
Babybel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Sa 30.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Habe soeben folgende Aufgabe gelöst, und möchte nun
> wissen, ob ich dies richtig gemacht habe:
>
> Bestimmen Sie alle Eigenwerte und eine Basis aller
> Eigenräume für die reelle Matrix
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -3\\ -1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Ist A diagonalisierbar?
>
> Meine Lösung:
> 1) Char. Polynom: [mm]p_A(\lamda)=det(A-\lambda E)=\lambda^3*(\lambda-1)[/mm]
>
> 2) EW: [mm]p_A(\lambda)=0 \gdw \lambda_1=0[/mm] mit alg. VF = 3 &
> [mm]\lambda_2=1[/mm] mit alg. VF = 1
>
> 3) EV: [mm](A-\lambda_i E)x_i=0[/mm]
> Für [mm]\lambda_1:[/mm] Möglicher EV:
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm] oder [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Für [mm]\lambda_2:[/mm] Möglicher EV: [mm]\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Somit sind die Eigenräume:
> [mm]Eig(A,0)=span{\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
>
> [mm]Eig(A,1)=span\{\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
Bis hierher ist alles O.K.
>
> Eine mögliche Basis der Eigenräume sind also einfach die
> Eigenvektoren, oder?
Ja
>
> 4) diagonalisierbar: Hier bin ich mir jetzt nicht ganz
> sicher, wie ich dies zeigen kann?
> Es sollte ja ein P existieren, so dass [mm]A=P^{-1}*D*P.[/mm] (D
> ist Diagonalmatrix mit EW auf der Diagonalen)
> [mm]P^{-1}[/mm] sollte doch die Matrix mit den EV in den Spalten
> sein. Aber da ich hier nur 3 EV habe, kann ich dies ja
> nicht machen. Somit würde ich daraus schliessen, dass A
> nicht diagonalisierbar ist.
> Ich vermute aber, dass diese Begründung nicht wirklich gut
> ist... kann mir jemand weiterhelfen?
Du gehst schon in die richtige Richtung.
Wäre die matrix diagonalisierbar, so müsste es eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ( [mm] \IC^4) [/mm] aus Eigenvektoren geben.
Dazu brauchst Du aber 4 linear unabhängige Eigenvektoren. Hast Du die ?
FRED
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
>
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> > Hallo zusammen
> >
> > Habe soeben folgende Aufgabe gelöst, und möchte nun
> > wissen, ob ich dies richtig gemacht habe:
> >
> > Bestimmen Sie alle Eigenwerte und eine Basis aller
> > Eigenräume für die reelle Matrix
> > A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -3\\ -1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > Ist A diagonalisierbar?
> >
> > Meine Lösung:
> > 1) Char. Polynom: [mm]p_A(\lamda)=det(A-\lambda E)=\lambda^3*(\lambda-1)[/mm]
>
> >
> > 2) EW: [mm]p_A(\lambda)=0 \gdw \lambda_1=0[/mm] mit alg. VF = 3 &
> > [mm]\lambda_2=1[/mm] mit alg. VF = 1
> >
> > 3) EV: [mm](A-\lambda_i E)x_i=0[/mm]
> > Für [mm]\lambda_1:[/mm]
> Möglicher EV:
> > [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm] oder [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > Für [mm]\lambda_2:[/mm] Möglicher EV: [mm]\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> >
> > Somit sind die Eigenräume:
> > [mm]Eig(A,0)=span{\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
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> >
> > [mm]Eig(A,1)=span\{\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
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> Bis hierher ist alles O.K.
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> >
> > Eine mögliche Basis der Eigenräume sind also einfach die
> > Eigenvektoren, oder?
>
> Ja
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> > 4) diagonalisierbar: Hier bin ich mir jetzt nicht ganz
> > sicher, wie ich dies zeigen kann?
> > Es sollte ja ein P existieren, so dass [mm]A=P^{-1}*D*P.[/mm] (D
> > ist Diagonalmatrix mit EW auf der Diagonalen)
> > [mm]P^{-1}[/mm] sollte doch die Matrix mit den EV in den Spalten
> > sein. Aber da ich hier nur 3 EV habe, kann ich dies ja
> > nicht machen. Somit würde ich daraus schliessen, dass A
> > nicht diagonalisierbar ist.
> > Ich vermute aber, dass diese Begründung nicht wirklich gut
> > ist... kann mir jemand weiterhelfen?
>
>
> Du gehst schon in die richtige Richtung.
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> Wäre die matrix diagonalisierbar, so müsste es eine Basis
> des [mm]\IR^4[/mm] ( [mm]\IC^4)[/mm] aus Eigenvektoren geben.
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> Dazu brauchst Du aber 4 linear unabhängige Eigenvektoren.
> Hast Du die ?
Hallo Fred
Nein, ich habe nur 3 lin. unabh. EV.
Somit kann ich bei der Aufgabe einfach hinschreiben:
Da die Matrix nur 3 lin. unabh. Eigenvekoren hat, bilden diese keine Basis des [mm] \IR^4, [/mm] somit ist die Matrix nicht diagonalisierbar. (Auf das [mm] \IR^4 [/mm] kommst du, da es sich um eine 4x4-Matrix handelt, oder?)
Aber sind denn EV immer linear unabhängig? Nicht wirklich, oder?
Also wenn ich z.B. jetzt wieder eine 4x4-Matrix habe, wie oben und dann 2 Eigenwerte finden würde und zu diesen 2 Eigenwerten je 2 Eigenvektoren. Dann müsste ich zuerst schauen, ob diese Eigenvektoren linear unabhängig sind und erst dann könnte ich sagen, dass diese Eigenvektoren eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] bilden und somit die Matrix diagonalisierbar ist. Ist das richtig?
Denn es gilt doch nur: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
>
> FRED
> >
> > Liebe Grüsse
> > Babybel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 30.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo zusammen
> > >
> > > Habe soeben folgende Aufgabe gelöst, und möchte nun
> > > wissen, ob ich dies richtig gemacht habe:
> > >
> > > Bestimmen Sie alle Eigenwerte und eine Basis aller
> > > Eigenräume für die reelle Matrix
> > > A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -3\\ -1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
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> > > Ist A diagonalisierbar?
> > >
> > > Meine Lösung:
> > > 1) Char. Polynom: [mm]p_A(\lamda)=det(A-\lambda E)=\lambda^3*(\lambda-1)[/mm]
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> > >
> > > 2) EW: [mm]p_A(\lambda)=0 \gdw \lambda_1=0[/mm] mit alg. VF = 3 &
> > > [mm]\lambda_2=1[/mm] mit alg. VF = 1
> > >
> > > 3) EV: [mm](A-\lambda_i E)x_i=0[/mm]
> > > Für [mm]\lambda_1:[/mm]
> > Möglicher EV:
> > > [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm] oder [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
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> > > Für [mm]\lambda_2:[/mm] Möglicher EV: [mm]\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> > > Somit sind die Eigenräume:
> > > [mm]Eig(A,0)=span{\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
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> > > [mm]Eig(A,1)=span\{\vektor{-9 \\ 3 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
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> > Bis hierher ist alles O.K.
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> > >
> > > Eine mögliche Basis der Eigenräume sind also einfach die
> > > Eigenvektoren, oder?
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> > Ja
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> > >
> > > 4) diagonalisierbar: Hier bin ich mir jetzt nicht ganz
> > > sicher, wie ich dies zeigen kann?
> > > Es sollte ja ein P existieren, so dass [mm]A=P^{-1}*D*P.[/mm]
> (D
> > > ist Diagonalmatrix mit EW auf der Diagonalen)
> > > [mm]P^{-1}[/mm] sollte doch die Matrix mit den EV in den
> Spalten
> > > sein. Aber da ich hier nur 3 EV habe, kann ich dies ja
> > > nicht machen. Somit würde ich daraus schliessen, dass A
> > > nicht diagonalisierbar ist.
> > > Ich vermute aber, dass diese Begründung nicht wirklich gut
> > > ist... kann mir jemand weiterhelfen?
> >
> >
> > Du gehst schon in die richtige Richtung.
> >
> > Wäre die matrix diagonalisierbar, so müsste es eine Basis
> > des [mm]\IR^4[/mm] ( [mm]\IC^4)[/mm] aus Eigenvektoren geben.
> >
> > Dazu brauchst Du aber 4 linear unabhängige Eigenvektoren.
> > Hast Du die ?
>
> Hallo Fred
>
> Nein, ich habe nur 3 lin. unabh. EV.
> Somit kann ich bei der Aufgabe einfach hinschreiben:
> Da die Matrix nur 3 lin. unabh. Eigenvekoren hat, bilden
> diese keine Basis des [mm]\IR^4,[/mm] somit ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar.
So ist es.
> (Auf das [mm]\IR^4[/mm] kommst du, da es sich um
> eine 4x4-Matrix handelt, oder?)
Ja
> Aber sind denn EV immer linear unabhängig? Nicht
> wirklich, oder?
> Also wenn ich z.B. jetzt wieder eine 4x4-Matrix habe, wie
> oben und dann 2 Eigenwerte finden würde und zu diesen 2
> Eigenwerten je 2 Eigenvektoren. Dann müsste ich zuerst
> schauen, ob diese Eigenvektoren linear unabhängig sind und
> erst dann könnte ich sagen, dass diese Eigenvektoren eine
> Basis des [mm]\IR^4[/mm] bilden und somit die Matrix
> diagonalisierbar ist. Ist das richtig?
Ja
>
> Denn es gilt doch nur: Eigenvektoren zu verschiedenen
> Eigenwerten sind linear unabhängig.
Ja
FRED
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> > FRED
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> > > Liebe Grüsse
> > > Babybel
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Hallo fred
Vielen lieben Dank für deine Antworten!
Habe nochmals eine Frage:
Es gilt doch: alg. VF = geom. VF [mm] \Rightarrow [/mm] A diagonalisierbar
Gilt auch: alg. VF [mm] \not= [/mm] geom. VF [mm] \Rightarrow [/mm] A nicht diagonalisierbar ????
Liebe Grüsse
Babybel
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> Gilt auch: alg. VF [mm]\not=[/mm] geom. VF [mm]\Rightarrow[/mm] A nicht
> diagonalisierbar ????
Hallo,
wenn Du eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix hast, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und wenn Du dann feststellst, daß
> alg. VF [mm]\not=[/mm] geom. VF,
weißt Du, daß die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
LG Angela
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