E[X] und Var[X] von Panjer < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Panjer Verteilung.
[mm] $p_n=(a+\bruch{b}{n})p_{n-1}, [/mm] n=1,2,...$
In meinen Büchern wird immer nur erwähnt, dass
[mm] $E[X]=\bruch{a+b}{1-a}$ [/mm] und [mm] $Var[X]=\bruch{a+b}{(1-a)^2}$ [/mm] ist.
Weiß jemand wie man darauf kommt?
Viele Grüße
Joan
|
|
| |
|
Hiho,
$E[X] = [mm] \summe_{k=1}^\infty k*p_k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^\infty k*\left(a + \bruch{b}{k}\right)p_{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^\infty k*a*p_{k-1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^\infty b*p_{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)*a*p_k [/mm] + [mm] b*\summe_{k=0}^\infty p_k [/mm] = [mm] a*\summe_{k=0}^\infty k*p_k [/mm] + [mm] a*\summe_{k=0}^\infty p_k [/mm] + b*1 = a*E[X] + a*1 + b$
Umstellen nach E[X] liefert das Gewünschte.
Var(X) machst nu mal allein 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Joan2 |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich wollte gerade die Varianz berechnen. Dafür benötigt man ja [mm] $E[X^2]$.
[/mm]
Ist dann [mm] $E[X^2] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} k^2 p_k$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mi 02.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
>
> Ist dann [mm]E[X^2] = \summe_{i=1}^{\infty} k^2 p_k[/mm]?
Fast ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") : [mm]E[X^2] = \summe_{\red{k=1}}^{\infty} k^2 p_k[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 03.05.2012 | | Autor: | Joan2 |
[mm] $E[X^2]= \sum_{k=1}^\infty k^2p_{k-1} [/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^\infty k^2 (a+\bruch{b}{k})p_{k-1}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^\infty k^2 ap_{k-1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty kbp_{k-1}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^\infty a(k^2+1)p_k [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^\infty b(k+1)p_k [/mm]
[mm] =a\sum_{k=0}^\infty k^2 p_k [/mm] + [mm] a\sum_{k=0}^\infty p_k [/mm] + [mm] b\sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] p_k [/mm] + [mm] b\sum_{k=0}^\infty p_k
[/mm]
[mm] =a\sum_{k=0}^\infty k^2 p_k [/mm] + [mm] a\sum_{k=0}^\infty p_k [/mm] + b E[X] + [mm] b\sum_{k=0}^\infty p_k
[/mm]
= [mm] a\sum_{k=0}^\infty k^2 p_k [/mm] + a + [mm] b(\bruch{a+b}{1-a}) [/mm] + b
= a [mm] E[X^2] [/mm] + a + [mm] \bruch{ab+b^2}{1-a}+b$
[/mm]
Also: [mm] $E[X^2]= \bruch{a+b}{1-a} [/mm] + [mm] \bruch{ab+b^2}{(1-a)^2}$
[/mm]
Aber es soll sein: [mm] $Var[X]=\bruch{a+b}{(1-a)^2}$.
[/mm]
Und setz ich [mm] $E[X^2]$ [/mm] in [mm] $E[X^2]-(E[X])^2$ [/mm] ein, kommt was ganz anderes raus.
In der Berechnung von [mm] $E[X^2]$ [/mm] muss ein Fehler sein, aber ich seh nicht wo. Weiß jemand weiter?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]$E[X^2]= \sum_{k=1}^\infty k^2p_{k-1}[/mm]
Hier muss es [mm] p_k [/mm] heißen, aber du setzt falsch ein, dadurch wirds wieder richtig.
> = [mm]\sum_{k=1}^\infty k^2 (a+\bruch{b}{k})p_{k-1}[/mm]
Das stimmt wieder.
> = [mm]\sum_{k=0}^\infty a(k^2+1)p_k[/mm] + [mm]\sum_{k=0}^\infty b(k+1)p_k[/mm]
Bei der Indexverschiebung setzt du doch für k dann k+1 ein, d.h. es muss [mm] $(k+1)^2$ [/mm] heißen und NICHT [mm] $k^2 [/mm] +1$.
Grundlagen nacharbeiten
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Do 03.05.2012 | | Autor: | Joan2 |
Hoppala, da sollte ich wirklich was nachholen :P
Danke ^^
|
|
|
|
