Ebene an einem Punkt spiegeln < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Ebenen E ist durch 3x1 − 2x2 − 6x3 = 14 gegeben.
Welchen Abstand hat P(1|11|5) von E?
E wird an P punktgespiegelt.
Bestimmen Sie eine Gleichung des Spiegelbildes. |
Hi :),
ich habs folgendermaßen gemacht und komme aber zu keinem richtigen ergebnis:
Hilfsgerade h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 11 \\ 5} [/mm] + t * [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ -6}
[/mm]
3*(1+3t) - 2*(11-2t) - 6*(5-6t) = 14
[mm] \gdw [/mm] t = [mm] \bruch{9}{7}
[/mm]
[mm] \gdw F(\bruch{34}{7}/\bruch{59}{7}/\bruch{-19}{7})
[/mm]
[mm] \gdw \overrightarrow{OP'} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] + [mm] 2*\overrightarrow{PF}
[/mm]
= [mm] \vektor{\bruch{61}{7} \\ \bruch{41}{7} \\ \bruch{-73}{7}}
[/mm]
gespiegelte Ebene:
[mm] (\vec{x}-\vektor{\bruch{61}{7} \\ \bruch{41}{7} \\ \bruch{-73}{7}})*\vektor{3 \\ -2\\ -6} [/mm] = 0
E': 3*x1-2*x2-6*x3-77=0
ist aber anscheinend falsch.. kann jemand mir bitte sagen, wo mein fehler liegt?
danke schön
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Hi, bin grad etwas in Eile... Eine kurze Hilfestellung...
Abstand der Ebene zum Punkt über die HNF: Ergebnis: d=9
Dein Fehler in der Spiegelung liegt meines erachtens in dem Abschnitt wo du den Fußpunkt deiner zweiten Ebene bestimmst.
Das muss OF' sein und nicht OP'... Zu OF' kommst du über
OF' = OP + PF
als Ergebnis kommt dann [mm] 3x_1-2x_2-6x_3=112 [/mm] heraus. Diese Ebene hat den Abstand 9.
Muss jetzt schnell weg. Ich hoff ich konnte dir helfen.
Falls es nicht klar ist, werd ich es später nochmal versuchen besser zu erklären.
Lieben Gruß
Hackbert-celine
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hi hackbert-celine :)
danke für deine schnelle hilfe...
deine lösung ist richtig, vielleicht hast du dich bei der formel vertippt, oder sehe ich das falsch?
muss das nicht so sein OF' = OP - PF
du hast ja plus geschrieben, dann würde man ja nicht auf 112 kommen. ich habs mit MINUS versucht, das klappt:)
ich bitte mich zu korrigeren, wenn ich was falsch verstanden habe.
vielen dank :)
Liebe Grüße,
matheLK-Abi07
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ich glaube, das muss
3*x1 - 2*x2 - 6*x3 = - 112
sein.
oder?
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hat sich wohl erledigt :)
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Also du hast beides mal recht... sorry tut mir leid wenn ich erst was falsches geschrieben hab...
also nochmal das Richtige:
der Punkt F' ist: [mm]\vec {OF'} = \vec{OP}-\vec{PF}[/mm]
OF' = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 5 \end{pmatrix}- \left( \begin{pmatrix} \frac{34}{7} \\ \frac{59}{7} \\ \frac{-19}{7} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 5 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-20}{7} \\ \frac{95}{7} \\ \frac{89}{7} \end{pmatrix}
[/mm]
Dann ist die Gleichung für die Ebene:
[mm] \left(3 \cdot \frac{-20}{7}\right)-\left(2 \cdot \frac{95}{7}\right) -\left(6\cdot \frac{89}{7}\right)=d
[/mm]
[mm]d=-112[/mm]
==> [mm] 3x_1-2x_2-6x_3=-112
[/mm]
Über die HNF ist jetzt prüfbar, dass der Abstand 9 beträgt.
Ich hoff jetzt hab ich keinen Fehler mehr gemacht. Tut mir leid wegen vorhin, war aber echt in Eile.
Lieben Gruß
Hackbert-celine
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> Also du hast beides mal recht... sorry tut mir leid wenn
> ich erst was falsches geschrieben hab...
>
>
> also nochmal das Richtige:
>
> der Punkt F' ist: [mm]\vec {OF'} = \vec{OP}-\vec{PF}[/mm]
> OF' =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 5 \end{pmatrix}- \left( \begin{pmatrix} \frac{34}{7} \\ \frac{59}{7} \\ \frac{-19}{7} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 5 \end{pmatrix} \right)[/mm]
> = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-20}{7} \\ \frac{95}{7} \\ \frac{89}{7} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Dann ist die Gleichung für die Ebene:
>
> [mm]\left(3 \cdot \frac{-20}{7}\right)-\left(2 \cdot \frac{95}{7}\right) -\left(6\cdot \frac{89}{7}\right)=d[/mm]
>
> [mm]d=-112[/mm]
>
> ==> [mm]3x_1-2x_2-6x_3=-112[/mm]
>
> Über die HNF ist jetzt prüfbar, dass der Abstand 9
> beträgt.
>
> Ich hoff jetzt hab ich keinen Fehler mehr gemacht. Tut mir
> leid wegen vorhin, war aber echt in Eile.
>
> Lieben Gruß
> Hackbert-celine
>
kein problem.. das war sehr hilfreich :)
vielen vielen dank
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Okay.
Hab gerade noch eine andere Möglichkeit gesehen. Diese ist aber praktischerweise nur mit dem GTR lösbar.
Du rechnest ja zu Beginn den Abstand vom Punkt zu der Ebene über die HNF aus.
[mm] d=\left|\frac{3x_1-2x_2-6x_3-14}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right|
[/mm]
Setzte für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] die Koordinaten des Punktes ein:
[mm] d=\left|\frac{3-22-30-14}{7}\right| [/mm] ==> d=9
Somit wissen wir den Abstand des Punktes zur Ebene.
Jetzt suchen wir eine parallele Ebene mit gleichem Abstand zu diesem Punkt, somit gilt für diese Ebene in der HNF:
[mm] 9=\left|\frac{3-22-30-\alpha}{7}\right|
[/mm]
Jetzt sieht man jeweils den rechten und linken Teil des Terms als eine Funktion an und schneidet diese, dann erhält man als Schnittpunkte: [mm] S_1(-112/9) [/mm] und [mm] S_2(14/9). [/mm] Hieraus ist jetzt mit [mm] \alpha [/mm] = -112 die zweite Ebene ersichtlich.
[mm] E_{parallel}: 3x_1-2x_2-6x_3=-112
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Sa 07.04.2007 | | Autor: | riwe |
und der einfachste weg zur gespiegelten ebene ist der:
wir kennen den abstand d = 9 des punktes P von E und deren normalenvektor. daher
[mm] \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OP}\pm\frac{9}{7}\vektor{3\\-2\\-6}\to S_1(\frac{34}{7}/\frac{59}{7}/-\frac{19}{7}/), [/mm] dieser punkt liegt in E, ist also der lotfußpunkt, und [mm] S_2(-\frac{20}{7}/\frac{95}{7}/\frac{89}{7}), [/mm] das ist der gesuchte spiegelpunktes des lotfußpunktes.
und mit der normalvektorform ist man schon am ziel.
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> und der einfachste weg zur gespiegelten ebene ist der:
> wir kennen den abstand d = 9 des punktes P von E und deren
> normalenvektor. daher
>
> [mm]\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OP}\pm\frac{9}{7}\vektor{3\\-2\\-6}\to S_1(\frac{34}{7}/\frac{59}{7}/-\frac{19}{7}/),[/mm]
> dieser punkt liegt in E, ist also der lotfußpunkt, und
> [mm]S_2(-\frac{20}{7}/\frac{95}{7}/\frac{89}{7}),[/mm] das ist der
> gesuchte spiegelpunktes des lotfußpunktes.
> und mit der normalvektorform ist man schon am ziel.
hi..
wie kommst du denn auf [mm] \bruch{9}{7}?
[/mm]
kannst du es mir bitte erlären?
danke schön
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Hi,
ich kann dir des glaub ich auch kurz erklären ;)
des is der Normaleneinheitsvektor [mm] n_0, [/mm] d.h. der Normalenvektor mit der Länge 1.
[mm] n_0=\frac{1}{\sqrt{3^2+(-2)^2+(-6)^2}}*\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \frac{1}{7}*\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
jetzt will man diesen Normaleneinheitsvektor aber mit der Länge 9 und nimmt deswegen "[mm]n_9[/mm]"[mm]=\frac{9}{7}*\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
Ich hoffe ich kann dir hiermit helfen.
Lieben Gruß
hackbert-celine
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danke schön... das war alles super nett von euch beiden..
vielen vielen dank :)
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