Ebene durch Gerade und Punkt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mi 19.01.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo,
dies ist zwar nun keine Hausaufgabe, aber es interessiert mich. Ich laß gerade, dass eine Ebene auch vorgegeben werden kann durch eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht auf der Gerade g liegt. Muss P nicht jetzt auf einer Gerade liegen, die paralell zu g ist?
Nur wie berechne ich das?
Hier steht:
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{u}
[/mm]
P mit [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p}
[/mm]
Also muss ich doch jetzt irgendwie die Gerade [mm] \overrightarrow{p} [/mm] finden?
Oder welche Bedingungen muss [mm] \overrightarrow{p} [/mm] erfüllen, damit tatsächlich eine Ebene vorliegt?
Über Hinweise würde ich mich freuen :)
Liebe Grüße
Bärchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo baerchen!
> Hallo,
>
> dies ist zwar nun keine Hausaufgabe, aber es interessiert
> mich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
> Ich laß gerade, dass eine Ebene auch vorgegeben
> werden kann durch eine Gerade g und einen Punkt P, der
> nicht auf der Gerade g liegt.
> Muss P nicht jetzt auf einer
> Gerade liegen, die paralell zu g ist?
Du sprichst ja von Geraden im 3-dimensionalen Raum. Der Punkt P liegt dann auf der Geraden:
[mm] $g_2:$[/mm] [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\mu\; \overrightarrow{u}[/mm] [mm] ($\mu \in \IR$) [/mm] (wobei [m]\overrightarrow{u}[/m] der Richtungsvektor deiner unten stehenden Gerade g ist).
[mm] $g_2$ [/mm] ist dann echt parallel zu g und der Punkt P liegt auf [mm] $g_2$.
[/mm]
> Nur wie berechne ich das?
>
> Hier steht:
> g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{a}[/mm] + [mm]\lambda \overrightarrow{u}
[/mm]
>
>
> P mit [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] = [mm]\overrightarrow{p}
[/mm]
>
> Also muss ich doch jetzt irgendwie die Gerade
> [mm]\overrightarrow{p}[/mm] finden?
> Oder welche Bedingungen muss [mm]\overrightarrow{p}[/mm] erfüllen,
> damit tatsächlich eine Ebene vorliegt?
Du meinst, du mußt eine Gerade durch P finden, die echt parallel zu g ist? Naja, müssen nicht unbedingt (siehe "P.S." ganz unten); aber es kann hilfreich sein, drüber nachgedacht zu haben. 
Ich habe sie oben angegeben: Die Gerade durch P parallel zu g ist die Gerade [mm] $g_2$, [/mm] wie sie jetzt oben bereits steht.
Eine echte Ebene kann man durch einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren beschreiben. Durch deine Gerade g ist ein möglicher Stützvektor bekannt: [m]\overrightarrow{a}[/m]
Weiter bietet es sich an, den Richtungsvektor der Geraden g als Richtungsvektor der Ebene zu wählen:
1. Richtungsvektor: [mm] $\overrightarrow{u}$
[/mm]
Wie kriegen wir nun einen zweiten Richtungsvektor? Wir wählen einen Punkt von g aus und einen Punkt von [mm] $g_2$. [/mm] Der Differenzvektor dieser beiden ist dann als zweiter Richtungsvektor von E geeignet:
Hier also:
Wähle z.B. [mm] $\overrightarrow{p}$ [/mm] (da P auf [mm] $g_2$ [/mm] liegt) und wähle [mm] $\overrightarrow{a}$ ($\overrightarrow{a}$ [/mm] gehört ja zu g).
Nun gibt es zwei Differenzvektoren dieser beiden Vektoren:
1.) [mm] $\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}$
[/mm]
2.) [mm] $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}$
[/mm]
Einen davon brauchen wir als Richtungsvektor. Welchen wir wählen, ist egal. Ich nehme mal den ersten.
Dann gilt für die Darstellung der Ebene:
E:[mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r*\overrightarrow{u}+s*(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})[/mm] ([mm]r,s \in \IR[/mm]). [mm] $(\star)$
[/mm]
Kontrolle:
Setzt man in [mm] $(\star)$ [/mm] $s=0$, so erkennt man, dass g in E liegt. Weiter liegt P in E, wie man erkennt, indem man $s=1$ und $r=0$ in [mm] $(\star)$ [/mm] einsetzt.
PS: Wenn du genau hinguckst, brauchst du die Gerade [mm] $g_2$ [/mm] auch gar nicht; du benötigst für die Beschreibung von E ja nur g und einen zweiten Richtungsvektor: Z.B. den Differenzvektor des Punktes P außerhalb von g mit dem Stützvektor von g.
Viele Grüße,
Marcel
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