Ebene in Kordinatenform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Fr 12.05.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
der Verzweiflung nahe brauche ich Hilfe:
foldende Ebene:
Ebenen in Koordinatenform sind für mich kein Problem und ich kann diese auch ineinander umrechnen( Parameter- und Normalenform). Normalerweise kann ich das auch bei dieser nur ein Funktionsplotter, der ein anders Ergebnis anzeigt bringt mich zum Wahnsinn.
[mm] x_{2}+ 6x_{3}=48
[/mm]
Gesucht ist hier die Ebene in einer Parameterform, ich würde wie immer 3 Punkte machen (mit Hilfe der Nullstellen) und mit Hilfe der drei Punkte meine Ebene in Parameterform erzeugen.
Danke im Voraus
mfg Krisu112
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Sir_E |
Hallo
wenn du [mm] x_{1}=t [/mm] und [mm] x_{2}=s [/mm] setzt und dann die Gleichung nach [mm] x_{3} [/mm] umstellst erhältst du eine Parameterform der Ebene,denn
[mm] x_{1}= [/mm] t
[mm] x_{2}= [/mm] s
[mm] x_{3}= [/mm] 8 + [mm] \bruch{-1}{6} [/mm] * s
Jetzt hast du ja auf der linken seite schon den Vektor x stehen, den du ja für die Parameterform baruchst.
Jetzt liest du einfach das obige Gleichungssystem wie einen Vektor und erhältst dann:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\8} [/mm] + t * [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] + s * [mm] \vektor{0\\6\\-1}
[/mm]
wobei ich den letzten Vektor noch nen bisschen schöner ohne eine Bruch geschrieben hab.
Das müsste jetz stimmen hoffe ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Fr 12.05.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
hab deine Ebene in Parameterform überprüft und die stimmt natürlich auch, jedoch hab ich das nicht ganz verstanden, warum man behaupten kann [mm] x_{1}=t, [/mm] weil die Koordinate in meiner Ebene gar nicht vorkommt, und trotzdem stimmt deine Ebene?
Kann man nicht auch einfach 3 Punkte aus dieser Koordinatenform erzeugen, wenn ja, wie geht das?
mfg Krisu112
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Fr 12.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin krisu,
völlig korrekt. du kannst eine ebene von der koordinatenform in die parameterform umwandeln, indem du dir drei punkte wählst, die die koordinatengleichung erfüllen. Achtung: Die Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen!
einen Punkt als Stützvektor wählen und die Vektoren zwischen zwei Punkten als Richtungsvektoren bestimmen => ergibt die Ebene in Parameterform.
z.b.
2x1 + 6x2 + 3x3 -24 = 0
ich wähle drei punkte, z.b.
A [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 4} [/mm] ; B [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2} [/mm] ; C [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ -4}
[/mm]
nun stelle ich die Ebene (dreipunkteform) auf:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 4} [/mm] + r ( [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 4} [/mm] ) + s ( [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ -4} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 4} [/mm] )
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 4} [/mm] + r [mm] \vektor{6 \\ -1 \\ -2} [/mm] + s [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ -8} [/mm]
gruss
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Fr 12.05.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo WOlfgang,
leider hab ich das schon gewusst, trotzdem Danke, meine Frage ist, wie ich 3 Punkte auf folgender Ebene beschreibe, wie sie oben in der Aufgabe steht!!!
[mm] x_{2}+6x_{3}=48
[/mm]
mfg Krisu112
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Hallo krisu112,
schau mal weiter unten - oder oben - wie mans nimmt...
Viele Grüße,
zerbinetta
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Hallo krisu112,
> Kann man nicht auch einfach 3 Punkte aus dieser
> Koordinatenform erzeugen, wenn ja, wie geht das?
>
Ja, das geht eigentlich wie bei jeder anderen Koordinatenform auch - lass dich mal nicht irritieren, dass da kein [mm] x_1 [/mm] auftaucht! Das liegt daran, dass die Ebene parallel zur [mm] x_1-Achse [/mm] verläuft. Der Parameter vor dem [mm] x_1 [/mm] ist folglich Null.
Es ist also völlig unerheblich, was du für [mm] x_1 [/mm] einsetzt - lediglich die Zahlen, die du für die anderen beiden Koordinaten einsetzt, müssen die Gleichung erfüllen.
Zum Beispiel ist (0,0,8) ein Punkt der Ebene.
Und da die Ebene (wie gesagt) parallel zur [mm] x_1-Achse [/mm] verläuft, sind auch die Punkte (2,0,8) und (3,0,8) und (4839,0,8) usw. Punkte der Ebene.
Aber wie hase-hh in seinem Beitrag angedeutet hat, dürfen die drei Punkte, die du dir für die weitere Rechnung wählst, nicht auf einer Geraden liegen - sonst kannst du keine Ebene aufspannen!
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Sa 13.05.2006 | | Autor: | krisu112 |
Vielen Dank,
mir war bewusst, fehlt eine Koordinate, in der Koordinatenform, so ist die Ebene parallel dazu, doch ich hab gedacht, dann ist die ganze x1 Komponente NULL
Vielen Dank nochmals
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