Ebene in Parameterform"kürzen" < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Fr 24.03.2006 | | Autor: | janty |
| Aufgabe | E: x = [mm] \vektor{9 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t* [mm] \vektor{-9 \\ 3 \\ 6 } [/mm] + [mm] s*\vektor{-9 \\ 0 \\ 6 } [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t* [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + s* [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 2 }
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
In der Aufgabe geht es um eine Ebenengleichung die man aufstellen sollte. Das war kein Problem. Danach sollte man die Parameterform in eine Koordinatenform umwandeln. Hierzu "kürzte" ich die Ebene (s.o.), da alleVektoren(-"teile") durch 3 teilbar sind. Jetzt bin ich mir aber nicht mehr sicher, ob das geht/ob man das darf....und warum/nicht?
Ich denke inzwischen, eher nein, denn es verfälscht doch die Lage der Ebene, oder? Oder darf ich nur die Richtungsvektoren kürzen? Bzw. ganz allgemein, wann darf man das denn überhaupt und wann garnicht? bin grad leicht (*hust*  ) verwirrt.
Über Hilfe wäre ich dankbar.
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> E: x = [mm]\vektor{9 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + t* [mm]\vektor{-9 \\ 3 \\ 6 }[/mm] +
> [mm]s*\vektor{-9 \\ 0 \\ 6 }[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + t*
> [mm]\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + s* [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 2 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> In der Aufgabe geht es um eine Ebenengleichung die man
> aufstellen sollte. Das war kein Problem. Danach sollte man
> die Parameterform in eine Koordinatenform umwandeln. Hierzu
> "kürzte" ich die Ebene (s.o.), da alleVektoren(-"teile")
> durch 3 teilbar sind. Jetzt bin ich mir aber nicht mehr
> sicher, ob das geht/ob man das darf....und warum/nicht?
> Ich denke inzwischen, eher nein, denn es verfälscht doch
> die Lage der Ebene, oder? Oder darf ich nur die
> Richtungsvektoren kürzen? Bzw. ganz allgemein, wann darf
> man das denn überhaupt und wann garnicht? bin grad leicht
> (*hust* ) verwirrt.
> Über Hilfe wäre ich dankbar.
Also, ich hoffe, ich rede um diese Uhrzeit keinen Stuss hier...
Den Stützvektor darfst du nicht so "kürzen". Denn dieser ist ja quasi der Aufhängepunkt der ganzen Ebene. Und wenn du diesen änderst, ist die Ebene ja ganz woanders aufgehänt. Sie wäre zwar parallel zur "alten", aber eben nicht identisch.
Bei den Richtungsvektoren darfst du das so machen. Denn nehmen wir mal an, t und s wären im linken Fall =1. Dann stände da ja:
[mm] 1*\vektor{-9 \\ 3 \\ 6 }+1*\vektor{-9 \\ 0 \\ 6 }
[/mm]
Um dasselbe auf der rechten Seite hinzubekommen, müssen dort einfach nur s und t =3 sein (also, dass das beides s und t genannt ist, ist natürlich für meine Erklärung hier etwas blöde, aber ich denke, du weißt, was ich meine!? ). Dann stände da nämlich:
[mm] 3*\vektor{-3 \\ 1 \\ 2 }+3*\vektor{-3 \\ 0 \\ 2 }
[/mm]
(Ich vermute, dass die letzte Komponente des ersten Vektors ein Tippfehler von dir war...). Und das ist offensichtlich dasselbe. Da bei einer Ebenengleichung ja alle Werte aus [mm] \IR [/mm] für s und t eingesetzt werden, ist es also egal, wie "lang" deine Richtungsvektoren sind.
Wenn du dir das anschaulich vorstellen möchtest, dann probiere es mal so:
Der ursprüngliche Vektor und dein gekürzter Vektor zeigen in die gleiche Richtung, nur ist der erste dreimal so lang wie der zweite. Wenn du den zweiten also dreimal zeichnest, hast du wieder den ersten. Da eine Ebene "unendlich lang in beide Richtungen ist", ist es also egal, wie lang die einzelnen Vektoren sind, wenn sie denn in die gleiche Richtung zeigen.
War das verständlich? 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Fr 24.03.2006 | | Autor: | janty |
| Aufgabe | g: x = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{-4 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
h: x = [mm] \vektor{0 \\ 4,5 \\ -2,5} [/mm] + r * [mm] \vektor{4 \\ -6 \\ 5}
[/mm]
Die gesuchte Ebene wird von den Geraden g und h aufgespannt. |
Hallo Bastiane,
super, vielen lieben Dank erstmal! Jetzt verstehe ich es... :) war sehr verständlich erklärt.
Jetzt habe ich grade noch eine andere Aufgabe bearbeitet, die die selbe Thematik hat und bei der wieder ein "Verständnisknackpunkt" meinerseits vorliegt.
Mein Lösungsvorschlag war:
E: x = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{-4 \\ 3 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{4 \\ -6 \\ 5}
[/mm]
Ich habe also einfach den Aufpunkt von g als Aufpunkt der Ebene und die Richtungsvektoren von g und h als Richtungsvektoren von E verwendet.
Laut meiner Lösung sollte das auch stimmen, aber, und nun kommt das Verständnisproblem:
Die beiden Richtungsvektoren einer Ebene "gehen" doch vom Aufpunkt "aus" (dachte ich zumindest)...wie/warum kann ich dann einfach den Richtungsvektor von h übernehmen als Richtungsvektor von E (denn E hat ja den Aufpunkt von g)?
Ich hoffe, man versteht das Problem...ist ein bisschen schwer zu beschreiben...
LG und nochmals danke,
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Fr 24.03.2006 | | Autor: | metzga |
> Die beiden Richtungsvektoren einer Ebene "gehen" doch vom
> Aufpunkt "aus" (dachte ich zumindest)
Das ist schon richtig, das der Aufpunkt sowohl auf g als auch auf h liegen muss.
D.h. der Aufpunkt muss der Schnittpunkt der beiden Geraden sein.
Du musst also h=g setzen, auf r oder t auflösen und somit den Schnittpunkt berechnen.
Dann müsstest du auf folgendes Ergebnis kommen:
[mm]E:x=\vektor{2 \\ \bruch{3}{2} \\ 0}+t*\vektor{-4 \\ 3 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -6 \\ 5}[/mm]
Also das du die Richtungsvektoren übernommen hast ist schon richtig, nur dein Aufpunkt war falsch.
Anders gehts du bei zwei echt parallele Geraden vor, da diese keinen gemeinsammen Punkt haben, musst du eine Hilfsgerade aufstellen. Aus zwei windschiefe Geraden kann man keine Ebene machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 24.03.2006 | | Autor: | janty |
| Aufgabe | g: x = [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
h: x = [mm] \vektor{8 \\ 2,5 \\ 2} [/mm] + s * [mm] \vektor{-4 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Die gesuchte Ebene wird von den Geraden g und h aufgespannt. |
Vielen Dank erstmal, jetzt verstehe ich es und bin auch auf die richtige Lösung gekommen.
Da du aber die parallelen Geraden erwähnt hast, habe ich hierzu auch eine Aufgabe gerechnet (s.o.). Die Geraden sind parallel, was an der lin. Abh. der RiVe zu erkennen ist, deshalb darf ich die RiVe nicht beide verwenden, richtig (wieso eigentlich nicht)?
Meine Lösung ist deshalb:
E: x= [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -2} [/mm] + s * [mm] \vektor{2 \\ 1,5 \\ 0}
[/mm]
Ich habe von g den Aufpunkt und den Richtungsvektor verwendet und als zweiten RiVe den Differenzvektor von den beiden Aufpunkten/Ortsvektoren von g und h.
Du sprachst von einer Hilfsgerade - wo ist die denn jetzt genau? Habe ich die unwissentlich bei dieser Lösung erzeugt?
Und wegen den windschiefen Geraden: woran bemerke ich denn, wenn ich 2 Geraden habe und daraus eine Ebene bilden soll, dass diese windschief sind?
LG
Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Sa 25.03.2006 | | Autor: | metzga |
Zu deinen parallelen Problem, also du hast es genau richtig gemacht.
Die Hilfsgerade ist eine Gerade die beide parallele Geraden schneidet, was ja der Fall ist wenn du aus den Aufpunkten einen Vekter machst.
So warum du für die Ebene nicht die Richtungsvektoren von g und h nehmen darfst. Mal doch mal auf einem Blatt Papier (entspricht deiner Ebene) einen Punkt (Aufpunkt) auf und versuch mit zwei parallelen Vektoren durch Vektoraddition jeden anderen Punkt auf dem Blatt zu erreichen. Das geht nicht.
Zu windschiefe Geraden, zwei windschiefe Geraden haben keinen Schnittpunkt. Wenn du eine Ebenengleichung aufstellst brauchst du einen Punkt der sowohl auf g und h liegt. Also musst du g = h setzen. Kommst du da auf keine Lösung, sind g und h windschief.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 25.03.2006 | | Autor: | janty |
Vielen Dank!!!, jetzt sind alle Unklarheiten ausgeräumt :-D
LG
Laura
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