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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 26.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Ermittle die Ebene [mm] \epsilon [/mm] die durch die Punkte X(0|0|0|1), Y(1|3|1|2) und Z(3|1|3|4) und die Gerade g die durch den Ursprung 0 und den Punkt U(2|2|2|4) geht. Gibt es eine Hyperebene H die sowohl [mm] \epsilon [/mm] als auch g enthält? Stelle diese gegebenenfalls durch eine Gleichung dar und berechne den Abstand des Punktes I(1|1|1|1) von H.
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Hallo!
Mir machen die 4 Dimensionen kopfzerbrechen!
Ich meine, 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, "ergeben" eine Ebene.
Kann ich hier total analog wie in [mm] \IR^3 [/mm] agieren?
Ich habe das nun mal analog (wie in [mm] \IR^3) [/mm] durchgerechnet.
jeweils Parametergleichung:
die Ebenengleichung ergibt sich wie folgt:
[mm] \epsilon: \overrightarrow{x} [/mm] = X + [mm] \lambda_1 \overrightarrow{XY} [/mm] + [mm] \lambda_2 \overrightarrow{XZ}
[/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0 \\1} [/mm] + [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3}
[/mm]
die Geradengleichung:
g: [mm] \overrightarrow{R} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}
[/mm]
Nun habe ich folgenden Hinweis bekommen:
ich soll beide Gleichungen addieren, also
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\0 \\1} [/mm] + [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3} [/mm] + 0^> + [mm] \lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}
[/mm]
und einen Verbindungsvektor der g und [mm] \epsilon [/mm] verbindet addieren
also + [mm] \nue \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
damit ergibt sich
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4} [/mm] + [mm] \nue \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Anmerkung: Mir ist schleierhaft warum man hier einen Verbindungsvektor braucht, und warum dieser [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ist.
Nun soll der Nullraum dieser Gleichung berechnet werden. (ich habe dies mit Mathematica berechnet)
[mm] NullSpace\pmat{ 1&3&1&1 \\ 3&1&3&3 \\ 2&2&2&4 \\ 0&0&0&1 } [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
hieraus erhalte ich einen einzigen Vektor als Lösung
Anmerkung: warum ignoriere ich den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] - das ist der Vektor der Ebenegleichung - der Stützpunkt
Warum muss ich hier den Nullraum ausrechnen?
Ist meine Annahme richtig, dass wenn der Nullraum eine Lösung, wie hier, besitzt, die Ebene und die Gerade auf dieser Hyperebene sind?
Nun die nächste Frage ist nun, wie ich daraus die Ebenengleichung erhalte.
Wenn der Abstand eines Punktes zur Hyperebene wirklich analog wie in [mm] \IR^3 [/mm] zu berechnen ist, komme ich damit klar :)
Mir fehlt nur noch das Verständnis, warum man den Nullraum berechnet und warum man den Verbindungsvektor braucht (siehe Anmerkungen).
Bitte um Hilfe
Crosspost:
http://matheplanet.com/default3.html?topic=113102=30
mfg
uniklu
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Hallo uniklu,
> Ermittle die Ebene [mm]\epsilon[/mm] die durch die Punkte
> X(0|0|0|1), Y(1|3|1|2) und Z(3|1|3|4) und die Gerade g die
> durch den Ursprung 0 und den Punkt U(2|2|2|4) geht. Gibt es
> eine Hyperebene H die sowohl [mm]\epsilon[/mm] als auch g enthält?
> Stelle diese gegebenenfalls durch eine Gleichung dar und
> berechne den Abstand des Punktes I(1|1|1|1) von H.
>
> Hallo!
>
> Mir machen die 4 Dimensionen kopfzerbrechen!
> Ich meine, 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,
> "ergeben" eine Ebene.
> Kann ich hier total analog wie in [mm]\IR^3[/mm] agieren?
>
>
> Ich habe das nun mal analog (wie in [mm]\IR^3)[/mm] durchgerechnet.
>
> jeweils Parametergleichung:
> die Ebenengleichung ergibt sich wie folgt:
>
> [mm]\epsilon: \overrightarrow{x}[/mm] = X + [mm]\lambda_1 \overrightarrow{XY}[/mm]
> + [mm]\lambda_2 \overrightarrow{XZ}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0 \\1}[/mm]
> + [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3}[/mm]
>
> die Geradengleichung:
> g: [mm]\overrightarrow{R}[/mm] = [mm]\overrightarrow{0}[/mm] + [mm]\lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}[/mm]
>
> Nun habe ich folgenden Hinweis bekommen:
> ich soll beide Gleichungen addieren, also
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0 \\1}[/mm] + [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1}[/mm]
> + [mm]\lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3}[/mm] + 0^> + [mm]\lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}[/mm]
>
> und einen Verbindungsvektor der g und [mm]\epsilon[/mm] verbindet
> addieren
> also + [mm]\nue \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> damit ergibt sich
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1}[/mm]
> + [mm]\lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3}[/mm] + [mm]\lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}[/mm]
> + [mm]\nue \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Anmerkung: Mir ist schleierhaft warum man hier einen
> Verbindungsvektor braucht, und warum dieser [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> ist.
Wenn es eine Hyperebene geben soll, dann müssen sich g und [mm]\epsilon[/mm] in einem Punkt scheiden.
Dieser wird dann der Stützvektor der Hyperebene.
>
> Nun soll der Nullraum dieser Gleichung berechnet werden.
> (ich habe dies mit Mathematica berechnet)
>
> [mm]NullSpace\pmat{ 1&3&1&1 \\ 3&1&3&3 \\ 2&2&2&4 \\ 0&0&0&1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> hieraus erhalte ich einen einzigen Vektor als Lösung
>
> Anmerkung: warum ignoriere ich den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> - das ist der Vektor der Ebenegleichung - der Stützpunkt
> Warum muss ich hier den Nullraum ausrechnen?
> Ist meine Annahme richtig, dass wenn der Nullraum eine
> Lösung, wie hier, besitzt, die Ebene und die Gerade auf
> dieser Hyperebene sind?
Ja, Gerade und Ebene müssen sich in nur einem Punkt schneiden.
>
> Nun die nächste Frage ist nun, wie ich daraus die
> Ebenengleichung erhalte.
>
Der Schnittpunkt von Ebene und Gerade wird der Stützvektor der Hyperebene.
Die Richtungsvektoren der Hyperebene sind dieselben,
wie die von Gerade und Ebene.
>
> Wenn der Abstand eines Punktes zur Hyperebene wirklich
> analog wie in [mm]\IR^3[/mm] zu berechnen ist, komme ich damit klar
Das geht auch analog.
> :)
> Mir fehlt nur noch das Verständnis, warum man den Nullraum
> berechnet und warum man den Verbindungsvektor braucht
> (siehe Anmerkungen).
>
> Bitte um Hilfe
>
>
> Crosspost:
> http://matheplanet.com/default3.html?topic=113102=30
>
> mfg
> uniklu
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mi 26.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo MathePower!
Das bedeutet, die Ebenengleichung der Hyperebene folgend aussieht?
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}
[/mm]
Jetzt habe ich also alles in Parameterform vorliegen.
Wohin verschwinden eigentlich der Verbindungsvektor [mm] \nue \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] von vorhin und der Stützpunkt [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}?
[/mm]
Weiters habe ich nun 3 Richtungsvektoren?
Ich brauche doch nur 2 Stück? - du meitest dass die Hyperebene die selben Richtungsvektoren wie die Gerade und die Ebene haben.
Die nächste Frage ist mir etwas peinlich :)
Wie bekomme ich die Normalvektorform der Hyperebene?
Ich will diese dann in die Hessesche Normalform umwandeln um einfach den Punkt einzusetzten => Abstand berechnen.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mi 26.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo uniklu,
> Hallo MathePower!
>
> Das bedeutet, die Ebenengleichung der Hyperebene folgend
> aussieht?
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\ 3 \\1 \\1}[/mm]
> + [mm]\lambda_2 \vektor{3 \\ 1 \\3 \\3}[/mm] + [mm]\lambda_3 \vektor{2 \\ 2 \\2 \\4}[/mm]
Hmm, der Stützvektor der Hyperebene stimmt nicht.
Bestimme hier die Lösung von
[mm]\epsilon=g[/mm]
Demnach die Lösung von
[mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}+\lambda_{1}*\pmat{1 \\ 3 \\ 1 \\ 1}+ \lambda_{2}*\pmat{3 \\ 1 \\ 3 \\ 3}=\lambda_{3}*\pmat{2 \\ 2 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>
> Jetzt habe ich also alles in Parameterform vorliegen.
>
> Wohin verschwinden eigentlich der Verbindungsvektor [mm]\nue \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> von vorhin und der Stützpunkt [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}?[/mm]
>
> Weiters habe ich nun 3 Richtungsvektoren?
Ja.
> Ich brauche doch nur 2 Stück? - du meitest dass die
> Hyperebene die selben Richtungsvektoren wie die Gerade und
> die Ebene haben.
>
> Die nächste Frage ist mir etwas peinlich :)
> Wie bekomme ich die Normalvektorform der Hyperebene?
Du kannst jetzt einen Vektor bestimmen der senkrecht zu allen drei Richtungsvektoren ist.
Oder Du bestimmt hier die paramterfreie Darstellung der Hyperebene.
>
> Ich will diese dann in die Hessesche Normalform umwandeln
> um einfach den Punkt einzusetzten => Abstand berechnen.
>
> lg
>
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Mi 26.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Tut mir leid, ich bin gerade vollkommen ausgestiegen :P
Als Hinweis steht hier, dass man
die Parameterdarstellung von [mm] \epsilon [/mm] mit der Parameterdarstellung von g addieren soll. Als Zugabe kommt noch die Addition eines Verbidungsvektors (wieso auch immer und wieso auch immer dieser die Form (0,0,0,1) hat).
Könntest du mir bitte eine Schritt für Schritt Erklärung geben? Tut mir leid, aber ich sitze schon seit 2h an dieser Aufgabe und es geht nichts weiter.
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mi 26.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo uniklu,
> Hallo!
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> Tut mir leid, ich bin gerade vollkommen ausgestiegen :P
>
> Als Hinweis steht hier, dass man
> die Parameterdarstellung von [mm]\epsilon[/mm] mit der
> Parameterdarstellung von g addieren soll. Als Zugabe kommt
> noch die Addition eines Verbidungsvektors (wieso auch immer
> und wieso auch immer dieser die Form (0,0,0,1) hat).
Ich weiss auch nicht warum, der Verbindungsvektor diese Form haben soll.
>
> Könntest du mir bitte eine Schritt für Schritt Erklärung
> geben? Tut mir leid, aber ich sitze schon seit 2h an dieser
> Aufgabe und es geht nichts weiter.
Ist
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\lambda*\overrightarrow{b}[/mm]
und
[mm]\epsilon:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\alpha*\overrightarrow{u}+\beta*\overrightarrow{v}[/mm]
,wobei
[mm]\overrightarrow{a}[/mm] Stützvektor der Geraden g
[mm]\overrightarrow{b}[/mm] Richtungsvektor der Geraden g
[mm]\overrightarrow{p}[/mm] Stützvektor der Ebene [mm]\epsilon[/mm]
[mm]\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}[/mm] Richtungsvektoren der Ebene [mm]\epsilon[/mm]
Der gängige Weg, ist der daß man zunächst die Gerade g mit der Ebene [mm]\epsilon[/mm] schneidet.
Löse demnach
[mm]\overrightarrow{a}+\lambda*\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}+\alpha*\overrightarrow{u}+\beta*\overrightarrow{v}[/mm]
Sei der Schnittpunkt von Gerade und Ebene S,
dann ist die Hyperebene H gegeben durch:
[mm]H:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS}+\alpha*\overrightarrow{u}+\beta*\overrightarrow{u}+\gamma*\overrightarrow{b}[/mm]
>
> Vielen Dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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