Ebenengleichung aufstellen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 So 07.08.2005 | | Autor: | juriman |
Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt P1(-1,-1,2) geht und senkrecht auf den Ebenen E1 und E2 steht.
E1 : [mm] \vektor{1 \\ -\blue{2} \\ 1} [/mm] * [mm] \vec{r} [/mm] = 4
E2 : [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2} [/mm] * [mm] \vec{r} [/mm] = -4
Edit: Normalenvektor von E1 korrigiert. Loddar
Wie gehe ich da genau vor? Was kann ich aus den Gleichungen herraus lesen?
Bitte um einen vollständigen und genauen Lösungsweg.
(Da morgen die Klausur ist, ist es für kleine Hilfreiche Tips leider zu spät)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 So 07.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo juriman!
In welcher Darstellung soll denn Deine gesuchte Ebenengleichung angegeben werden?
In der Paramaterform $E \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{u} [/mm] + [mm] \kappa*\vec{v}$ [/mm] bist Du ganz schnell fertig, weil Du für den Stützvektor [mm] $\vec{p}$ [/mm] den Ortsvektor des gegebenen Punktes einsetzen kannst.
Die Richtungsvektoren [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] werden genau durch die beiden Normalenvektoren [mm] $\vektor{1 \\ -2 \\ 1}$ [/mm] bzw. [mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ -2}$ [/mm] der beiden Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] gebildet.
Soll die gesuchte Ebene auch in der Normalform $E \ : \ [mm] \vec{n}*\vec{x} [/mm] \ = \ d$ dargestellt werden, benötigst Du einen Normalenvektor [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n_x \\ n_y \\ n_z}$.
[/mm]
Dieser muss dann jeweils auf die beiden Normalenvektoren der anderen beiden Ebenen senkrecht stehen.
Es muss also gelten mit dem Skalarprodukt:
[mm] $\vektor{n_x \\ n_y \\ n_z}*\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] \ = \ [mm] 1*n_x +(-2)*n_y+1*n_z [/mm] \ = \ [mm] n_x-2n_y+n_z [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\vektor{n_x \\ n_y \\ n_z}*\vektor{1 \\ 2 \\ -2} [/mm] \ = \ [mm] 1*n_x +2*n_y+(-2)*n_z [/mm] \ = \ [mm] n_x+2n_y-2n_z [/mm] \ = \ 0$
Durch Addition diese beiden Gleichungen kannst Du [mm] $n_x$ [/mm] eliminieren und nach einer der anderen Komponenten umstellen.
Anschließend wählst Du Dir für einen der beiden Komponenten einen beliebigen Wert und berechnest die anderen beiden Werte ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 07.08.2005 | | Autor: | juriman |
Hm, also die Lösung lautet: 2x + 3y + 4z = 3
Wie kommt man auf diese Darstellung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 So 07.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo juriman!
Auf dieses Ergebnis komme ich nicht ...
Kannst Du vielleicht die Aufgabenstellung oben nochmal kontrollieren?
Heißt der Normalenvektor der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] vielleicht [mm] $\vektor{1 \\ -\red{2} \\ 1}$ [/mm] ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 07.08.2005 | | Autor: | juriman |
oh, ja! hast recht!
entschuldige
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 07.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo juriman!
Ich habe es mal oben in meiner Antwort angepasst ...
Wir hatten also erhalten für unseren gesuchten Normalvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] folgendes Gleichungssystem:
[I] [mm] $n_x-2*n_y+n_z [/mm] \ = \ 0$
[II] [mm] $n_x+2*n_y-2*n_z [/mm] \ = \ 0$
Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen [II]-[I] erhalten wir:
[mm] $4*n_y [/mm] - [mm] 3*n_z [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $n_y [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*n_z$
[/mm]
Für dieses Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und drei Unbaknnten gibt es keine eindeutige Lösung, was auch logisch ist, da es schließlich unendlich viele Vektoren gibt, die auf die genannten Vektoren senkrecht stehen. Diese unterscheiden sich in Länge und Richtung.
Daher wähle ich nun beliebig einen Wert für [mm] $n_z$, [/mm] dabei achte ich darauf, dass wir nur ganzzahlige Ergebnisse erhalten:
[mm] $n_z [/mm] \ := \ 4$ [mm] $\Rightarrow$ $n_y [/mm] \ = \ 3$ [mm] $\Rightarrow$ $n_x [/mm] \ = \ 2$
Unser gesuchter Normalenvektor lautet also: [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4}$
[/mm]
Nun setzen wir ein in unsere Ebenengleichung:
$E \ : \ [mm] \vec{n}*\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{n}*\vec{p} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$E \ : \ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4}*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4}*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm] \ = \ 0$
Wenn Du nun diese beiden Skalarprodukte ausmultiplizierst, kommst Du auf Deine genannte Lösung.
Gruß
Loddar
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