Eigenraum, Matrix, zykl.Vektor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein vektor v [mm] \in \IR [/mm] (hoch n) heiße zyklisch bzgl. Matrix A [mm] \in [/mm] Mat(n, [mm] \IR), [/mm] wenn die Menge {A^jv | j [mm] \in [/mm] {0,... n-1}} eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Zeige, dass jeder Eigenraum [mm] Eig(\lambda) [/mm] := [mm] ker(A-\lambda [/mm] id) einer Matrik A mit einem zyklischen Vektor höchstens Dimension 1 hat. |
Mir fehlt jegliche Idee es zu beweisen. Hab mir überlegt, dass ich zeigen muss, dass v Erzeuger der Bassis ist, bin mir aber nicht sicher und dann eine Folgerung aus Algebra anwenden kann " falls dim(eig) = n -> f [mm] \in [/mm] End(eig) hat max. n verschiedene EW im Raum".
Bin mir aber überhaupt ned sicher...
Lg uschi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Ein vektor v [mm]\in \IR[/mm] (hoch n) heiße zyklisch bzgl. Matrix
> A [mm]\in[/mm] Mat(n, [mm]\IR),[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wenn die Menge {A^jv | j [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0,...
> n-1}} eine Basis des [mm]\IR^n[/mm] ist.
> Zeige, dass jeder Eigenraum [mm]Eig(\lambda)[/mm] := [mm]ker(A-\lambda[/mm]
> id) einer Matrik A mit einem zyklischen Vektor höchstens
> Dimension 1 hat.
> Mir fehlt jegliche Idee es zu beweisen. Hab mir überlegt,
> dass ich zeigen muss, dass v Erzeuger der Bassis ist, bin
> mir aber nicht sicher und dann eine Folgerung aus Algebra
> anwenden kann " falls dim(eig) = n -> f [mm]\in[/mm] End(eig) hat
> max. n verschiedene EW im Raum".
> Bin mir aber überhaupt ned sicher...
>
Kann es sein dass die Aufgabenstellung heißen soll, dass der Raum und nicht der Eigenraum Dimension 1 hat?.
Weil wenn ein zyklisches Vektor c in [mm]Eig(\lambda)[/mm] liegt, heißt das ja, dass
[mm] $B=\{c, \lambda c, \lambda^2 c, ... , \lambda^{n-1} c \}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Da diese aber nur für n=1 linear unabhängig sind, folgt die Behauptung.
Anmerkung: ist [mm] $\IR^n$ [/mm] 1-dimensional, so auch jeder Untervektorraum, wie z.B. [mm]Eig(\lambda)[/mm]
Gruß Micha 
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