Eigenschaften zweier Graphen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Silicium |
| Aufgabe | Welche Eigenschaften des Graphen von f (Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte) gelten für c [mm] \not= [/mm] 0 auch für den Graphen der Funktion g?
Wie verändern sich dabei gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte?
a) g(x)=c*f(x)
b) g(x)=f(x)+c
c) g(x)=f(x-c) |
Hallo,
bei oben gestellter Aufgabe scheitere ich. Ich finde noch nicht einmal einen Ansatz, denn es ist ja kein einziger Funktionsterm gegeben! Mir würde es erstmal reichen, nur die Aufgabe a) zu können.
Da g(x), f(x) und c alles (!) sein können, bin ich völlig ratlos. Es kann Funktionen geben, in denen g(x) Schnittpunkte mit der x-Achse hat; es gibt welche, bei denen es nicht so ist usw. Aber das hilft mir nicht weiter. Ich kann die Gleichung auch nach f(x) auflösen: [mm] f(x)=\bruch{g(x)}{c}. [/mm] Aber was bringt mir das?
Wie kann ich denn da rechnerisch an diese Aufgabe gehen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mo 14.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib doch erstmal auf, was für die Funktion f gilt:
Die Nullstellen von f nenne mal [mm] x_{0},
[/mm]
Die Extrempunkte kannst du mit [mm] E(X_{e}/f(x_{e}) [/mm] beschreiben.
Hier gilt ja: [mm] f'(x_{e})=0
[/mm]
Für die Wendepunkte gilt: [mm] W(x_{w}/f(x_{w})), [/mm] wobei gilt [mm] f''(x_{w})=0
[/mm]
Und jetzt überlege mal, was passiert, wenn ich g(x)=c*F(x) bilde:
g'(x)=(c*f(x))'=c*f'(x)
g''(x)=c*f''(x)
Was heisst das für die Nullstellen, die x-Koordinaten der Extrema und die Wendestellen (X-Koordinaten der Wendepunkte) von g(x)?
Und was für die jeweiligen y-Koordinaten der Extrema/Wendepunkte
Also: Sind die Nullstellen, die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte identisch mit denen von f(x)?
Dasselbe mach mal mit h(x)=f(x)+c
(h'(x)=(f(x)+c)'=f'(x)+(c)'=f'(x), und somit h''(x)=f''(x))
und mit l(x)=f(x-c)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Silicium |
Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Zu Aufgabe a) habe ich nun herausgefunden, dass die Nullpunkte, Extremstellen und Wendestellen der Funktion f(x) und g(x) identisch sind. Richtig? Wenn ja: Wie verändern sich ihre y-Koordinaten (ist ja auch in der Aufgabe verlangt)?
Bei Aufgabe b) habe ich heraus, dass die Nullpunkte verschieden sind, die Extremstellen und Wendestellen aber gleich. Hier stellen sich mir dieselben Fragen wie bei Aufgabe a).
Zu Aufgabe c) habe ich leider keine Idee, wie ich vorgehen soll. Die Ableitungen sollten lauten:
g(x)=f(x-c)
g'(x)=f'(x-c)
g''(x)=f''(x-c)
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 14.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
> Zu Aufgabe a) habe ich nun herausgefunden, dass die
> Nullpunkte, Extremstellen und Wendestellen der Funktion
> f(x) und g(x) identisch sind. Richtig? Wenn ja: Wie
> verändern sich ihre y-Koordinaten (ist ja auch in der
> Aufgabe verlangt)?
> Bei Aufgabe b) habe ich heraus, dass die Nullpunkte
> verschieden sind, die Extremstellen und Wendestellen aber
> gleich. Hier stellen sich mir dieselben Fragen wie bei
> Aufgabe a).
Du hast jetzt die x-Werte der Punkte bekommen.
die y-Werte bekommst du nun dur das Einsetzen dieser x-Werte in die entsprechende Funktion g(x) bzw. h(x)
> Zu Aufgabe c) habe ich leider keine Idee, wie ich vorgehen
> soll. Die Ableitungen sollten lauten:
> g(x)=f(x-c)
> g'(x)=f'(x-c)
> g''(x)=f''(x-c)
>
Was gilt denn für Extrema: g'(x)=0
Also hier: f'(x-c)=0
Vergleiche das mal mit f(x)=0
(Das ganze ist in etwas vergleichbar mit dem Parabelschieben:
p(x)=x² ist die Normalparabel
q(x)=c*p² ist die gestauchte/gestreckte Normalparabel. Die Nullstellen und die x-Koordinate des Scheitels ändern sich nicht)
r(x)=x²+c ist duie Verschiebung um c entlang der y-Achse
s(x)=p(x-c) ist die Verschiebung nach rechts entlang der x-Achse))
Versuch dieses Problem mal auf deine Aufgabe zu übertragen. Was passiert dann bei:
g(x)=c*f(x)
h(x)=f(x)+c
l(x)=f(x-c)
Marius
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Silicium |
Erneut bedanke ich mich für die schnelle Antwort.
Ich habe die Aufgabe nun versucht, so weit wie möglich zu lösen.
Viele Grüße,
Silicium
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