Eigensystem - Matrix bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Sa 26.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Ich gebe eine (m x n)-Matrix A in Mathematica ein. Nach Eingabe von
In[2] := Eigensystem[A]
erhalte ich
Out[2] = {{3, 3, 0}, {{1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {-1, 1, 1}}}
Wie groß sind Zeilenanzahl m und Spaltenanzahl n von A?
Geben Sie weiter die Dimensionen folgender Räume an: N(A), C(A), [mm] C(A^T) [/mm] und [mm] N(A^T) [/mm] |
Hallo,
also folgendes ist gegeben: [mm] \lambda_1 [/mm] = 3, [mm] \lambda_2 [/mm] = 3, [mm] \lambda_3 [/mm] = 3 außerdem [mm] x_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, x_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Aufgrund der drei Eigenwerte und das die Matrix quadratisch sein muss, ergibt sich eine 3 x 3 - Matrix A
Für die gesuchten Dimensionen gilt (r Rang von A):
N(A) = n - r
C(A) = r
[mm] C(A^T) [/mm] = r
[mm] N(A^T) [/mm] = m - r
Also muss ich noch den Rang der Matrix A bestimmen, ich habe ja die Eigenwerte und Eigenvektoren gegeben, somit ist A eindeutig bestimmt. Ich habe nun überprüft, ob die drei Eigenvektoren linear unabhängig sind un dies sind sie auch. Jedoch kommt ein Eigenwert doppelt vor, aber dennoch drei linear unabhängige Eigenvektoren -> Matrix A symmetrisch.
Und für symmetrische Matrizen gilt: Anzahl der Eigenwerte = Anzahl der Pivotelemente = Rang von A
Es gibt zwei verschiedene Eigenwerte also zwei Pivotelemente und somit ist der Rang r von A gleich 2.
Nun kann ich die Dimensionen berechnen:
N(A) = n - r = 3 -2 = 1
C(A) = r = 2
[mm] C(A^T) [/mm] = r = 2
[mm] N(A^T) [/mm] = m - r = 3 - 2 = 1
Müsste soweit stimmen.
Wenn nun die Matrix nicht symmetrisch gewesen wäre und somit der Zusammenhang zwischen Eigenwerte und Pivotelemente nicht gilt. Wie hätte ich dann den Rang der Matrix herausgefunden? Also drei Eigenwerte aber nur zwei Eigenvektoren.
Gibt es da einen direkten Zusammenhang zwischen der Häufigkeit der Eigenwerte und dem Rang? Wenn also Eigenwerte doppelt, dreifach ... vorkommen.
Zum Beispiel bei einer 3 x 3 Matrix, [mm] \lambda_1 [/mm] = 2, [mm] \lambda_2 [/mm] = 2, [mm] \lambda_3 [/mm] = 1, kann nun sagen dass der Rang zwei ist, da ein Eigenwert doppelt vorkommt?
Besten Dank
itse
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> Ich gebe eine (m x n)-Matrix A in Mathematica ein. Nach
> Eingabe von
>
> In[2] := Eigensystem[A]
>
> erhalte ich
>
> Out[2] = {{3, 3, 0}, {{1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {-1, 1, 1}}}
>
> Wie groß sind Zeilenanzahl m und Spaltenanzahl n von A?
Hallo,
und schon wieder eine Meisterleistung von Aufgabenstellung...
Ich versuche seit ein paar Tagen immer mal wieder, sie zu begreifen...
Mit Mathematica kenne ich mich nicht aus, aber offenbar geht es darum. herauszufinden, welche Eigenschaft die Matrix A hat, welche die Eigenwerte 3,3,0 und die zugehörigen Eigenvektoren [mm] \vektor{1\\0\\1}, \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-1\\1\\1} [/mm] hat.
>
> Geben Sie weiter die Dimensionen folgender Räume an: N(A),
> C(A), [mm]C(A^T)[/mm] und [mm]N(A^T)[/mm]
> Hallo,
>
> also folgendes ist gegeben: [mm]\lambda_1[/mm] = 3, [mm]\lambda_2[/mm] = 3,
> [mm]\lambda_3[/mm] = 3
Das ist ein Tippfehler? [mm] \lambda_3=0 [/mm] ?
> außerdem [mm]x_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, x_2[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x_3[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Aufgrund der drei Eigenwerte und das die Matrix quadratisch
> sein muss, ergibt sich eine 3 x 3 - Matrix A
Ja. Eigenwerte und -vektoren gibt's nur für quadratische Matrizen.
Da die Eigenvektoren dem [mm] \IR^3 [/mm] entstammen, ist's eine 3x3-Matrix.
>
> Für die gesuchten Dimensionen gilt (r Rang von A):
>
> N(A) = n - r
>
> C(A) = r
>
> [mm]C(A^T)[/mm] = r
>
> [mm]N(A^T)[/mm] = m - r
>
> Also muss ich noch den Rang der Matrix A bestimmen, ich
> habe ja die Eigenwerte und Eigenvektoren gegeben, somit ist
> A eindeutig bestimmt.
Die Begründung ist mir nicht ganz klar, bzw. nicht komplett.
Die Matrix ist eindeutig bestimmt, weil Du eine Basis aus Eigenvektoren vorliegen hast.
Du könntest, wenn du Lust hast, die Matrix A jetzt aufstellen.
> Ich habe nun überprüft, ob die drei
> Eigenvektoren linear unabhängig sind un dies sind sie
> auch.
Ja.
> Jedoch kommt ein Eigenwert doppelt vor, aber dennoch
> drei linear unabhängige Eigenvektoren -> Matrix A
> symmetrisch.
Welchen Satz verwendest Du hier? Mir leuchtet das nicht ein.
Ich erkenne zunächst anhand der Eigenbasis bloß Diagonalisierbarkeit.
Für die Symmetrie müßtest Du etwas anderes ins Feld führen.
>
> Und für symmetrische Matrizen gilt: Anzahl der Eigenwerte
> = Anzahl der Pivotelemente = Rang von A
???
Die Matrix [mm] \pmat{1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2} [/mm] ist symmetrisch, hat 2 verschiedene Eigenwerte und den Rang 4,
die Matrix [mm] \pmat{1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0} [/mm] ist symmetrisch, hat 2 verschiedene Eigenwerte und den Rang 1.
> Es gibt zwei verschiedene Eigenwerte also zwei
> Pivotelemente und somit ist der Rang r von A gleich 2.
Daß der Rang der Matrix =2 ist, stimmt, die Begründung ist verkehrt.
>
> Nun kann ich die Dimensionen berechnen:
>
> N(A) = n - r = 3 -2 = 1
>
> C(A) = r = 2
Ja.
>
> [mm]C(A^T)[/mm] = r = 2
>
> [mm]N(A^T)[/mm] = m - r = 3 - 2 = 1
Ja.
>
> Müsste soweit stimmen.
>
> Wenn nun die Matrix nicht symmetrisch gewesen wäre
> und
> somit der Zusammenhang zwischen Eigenwerte und
> Pivotelemente nicht gilt.
Diesen Zusammenhang solltest Du mal korrekt formulieren.
> Wie hätte ich dann den Rang der
> Matrix herausgefunden? Also drei Eigenwerte aber nur zwei
> Eigenvektoren.
Dieser Fall kann doch gar nicht eintreten. Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor.
>
> Gibt es da einen direkten Zusammenhang zwischen der
> Häufigkeit der Eigenwerte und dem Rang? Wenn also
> Eigenwerte doppelt, dreifach ... vorkommen.
>
> Zum Beispiel bei einer 3 x 3 Matrix, [mm]\lambda_1[/mm] = 2,
> [mm]\lambda_2[/mm] = 2, [mm]\lambda_3[/mm] = 1, kann nun sagen dass der Rang
> zwei ist, da ein Eigenwert doppelt vorkommt?
Nein.
Es kann doch sein, daß die zugehörigen Eigenvektoren [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] sind, und damit wäre die Matrix diagonalisierbar, und Ihr Rang =3.
Gruß v. Angela
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> Besten Dank
> itse
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:38 Di 29.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Geben Sie weiter die Dimensionen folgender Räume an: N(A),
> > C(A), [mm]C(A^T)[/mm] und [mm]N(A^T)[/mm]
> > Hallo,
> >
> > also folgendes ist gegeben: [mm]\lambda_1[/mm] = 3, [mm]\lambda_2[/mm] = 3,
> > [mm]\lambda_3[/mm] = 3
>
> Das ist ein Tippfehler? [mm]\lambda_3=0[/mm] ?
Ja, ein Tippfehler [mm] \lambda_3 [/mm] = 0.
> > Für die gesuchten Dimensionen gilt (r Rang von A):
> >
> > N(A) = n - r
> >
> > C(A) = r
> >
> > [mm]C(A^T)[/mm] = r
> >
> > [mm]N(A^T)[/mm] = m - r
> >
> > Also muss ich noch den Rang der Matrix A bestimmen, ich
> > habe ja die Eigenwerte und Eigenvektoren gegeben, somit ist
> > A eindeutig bestimmt.
>
> Die Begründung ist mir nicht ganz klar, bzw. nicht
> komplett.
> Die Matrix ist eindeutig bestimmt, weil Du eine Basis aus
> Eigenvektoren vorliegen hast.
>
> Du könntest, wenn du Lust hast, die Matrix A jetzt
> aufstellen.
Ich muss nun ja noch den Rang bestimmen, um die Dimension der Räume auszurechnen. Also muss ich doch diese Matrix aufstellen:
A = S [mm] \lambda S^{-1}; [/mm] S = n linear unabhänige Eigenvektoren; [mm] \lambda [/mm] = Eigenwertmatrix
A = [mm] \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}
[/mm]
> > Ich habe nun überprüft, ob die drei
> > Eigenvektoren linear unabhängig sind un dies sind sie
> > auch.
>
> Ja.
>
> > Jedoch kommt ein Eigenwert doppelt vor, aber dennoch
> > drei linear unabhängige Eigenvektoren -> Matrix A
> > symmetrisch.
>
> Welchen Satz verwendest Du hier? Mir leuchtet das nicht
> ein.
> Ich erkenne zunächst anhand der Eigenbasis bloß
> Diagonalisierbarkeit.
Da habe mich vertan, es gibt durchaus auch Matrizen, die nicht symmetrisch sind, mehrfache Eigenwerte haben, aber dennoch n linear unabhängige Eigenvektoren aufweisen.
Bei symmetrischen Matrizen weiß man, dass sie immer diagonalisierbar sind.
> Für die Symmetrie müßtest Du etwas anderes ins Feld
> führen.
A = [mm] A^T
[/mm]
> >
> > Und für symmetrische Matrizen gilt: Anzahl der Eigenwerte
> > = Anzahl der Pivotelemente = Rang von A
>
> ???
In meinem Buch steht:
Die Pivotelemente und die Eigenwerte haben dieselben Vorzeichen.
Merksatz: Ist A eine symmetrische Matrix, so ist die Anzahl positiver (negativer) Eigenwerte gleich der Anzahl positiver (negativer) Pivotelemente.
> Die Matrix [mm]\pmat{1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2}[/mm] ist
> symmetrisch, hat 2 verschiedene Eigenwerte und den Rang 4,
4 positive Pivotelemente = Rang 4
4 positive Eigenwerte: 1, 2, 2, 2 (die Zwei kommt dreifach vor)
> die Matrix [mm]\pmat{1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}[/mm] ist
> symmetrisch, hat 2 verschiedene Eigenwerte und den Rang 1.
1 positives Pivotelement = Rang 1
4 positive Pivotelemente: 0, 0, 0, 1
Das mit den gleichen Vorzeichen stimmt, aber die Anzahl ist unterschiedlich, somit würde doch der Merksatz aus dem Buch nicht stimmen?
Natürlich sind in dem Buch nur Beispiele aufgezeigt, bei denen dies stimmt.
> > Gibt es da einen direkten Zusammenhang zwischen der
> > Häufigkeit der Eigenwerte und dem Rang? Wenn also
> > Eigenwerte doppelt, dreifach ... vorkommen.
> >
> > Zum Beispiel bei einer 3 x 3 Matrix, [mm]\lambda_1[/mm] = 2,
> > [mm]\lambda_2[/mm] = 2, [mm]\lambda_3[/mm] = 1, kann nun sagen dass der Rang
> > zwei ist, da ein Eigenwert doppelt vorkommt?
>
> Nein.
Wenn man also nur die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix kennt und diese somit diagonalisierbar ist. Muss man die Matrix explizit berechnen um den Rang bestimmen zu können?
Gibt es vielleicht ein schnelleres Verfahren?
Was macht man, wenn es nicht n linear unabhängige Eigenvektoren gibt? Dann ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Gruß
itse
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Hallo,
aus der sache mit den Pivotelementen halte ich mich mal lieber heraus, weil mir nicht ganz klar ist, was bei Euch mit Pivotelementen gemeint ist.
> Wenn man also nur die Eigenwerte und Eigenvektoren einer
> Matrix kennt und diese somit diagonalisierbar ist. Muss man
> die Matrix explizit berechnen um den Rang bestimmen zu
> können?
>
> Gibt es vielleicht ein schnelleres Verfahren?
Wenn Du eine diagonalisierbare nxn-Matrix hast, deren (nicht notwendigerweise verschiedene) Eigenwerte Du kennst, so ist der Rang gleich der Anzahl der von 0 verschiedenen Eigenwerte. In Deinem Beispiel ist der Rang also =2.
>
> Was macht man, wenn es nicht n linear unabhängige
> Eigenvektoren gibt? Dann ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar.
Genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 29.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo angela,
> aus der sache mit den Pivotelementen halte ich mich mal
> lieber heraus, weil mir nicht ganz klar ist, was bei Euch
> mit Pivotelementen gemeint ist.
Unsere Definition Pivotelement:
Pivotelement = erster Koeffizient (ungleich Null) der eliminierenden Zeile.
Gruß
itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 31.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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