Eigenvektor aus Eigenraum?! < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 22.12.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie einen EV von [mm] A=\pmat{ 5 & -6 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }, [/mm] der senkrecht auf [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 1} [/mm] steht. |
Hi leute.
Habe mich mal an obige Aufgabe gemacht, kann aber keinen Eigenvektor bestimmen, der senkrecht zu [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 1} [/mm] steht.
Meine EV sehen so aus:
[mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die Vektoren stehen (auch als Vielfache) nicht Senkrecht zu [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 1}, [/mm] oder?
Mein Eigenraum sieht aber so aus: [mm] <\vektor{2 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>
[/mm]
Wenn ich da die Koeffizienten 1 und 2 wähle, so könnte ich [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] erstellen, der wäre senkrecht zu [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 1}.
[/mm]
Geht das überhaupt? Irgendwie nicht, denn EV sind eindeutig, abgesehen von einem Vielfachen, korrekt? Der span des Eigenraums kann nur alle Vektoren, die in dem Raum liegen erstellen. Aber was sind das für Vektoren?
Wie kann ichs machen? :)
Danke & Schöne Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ist alles richtig.
Und alle Vektoren aus einem Eigenraum sind wieder Eigenvektoren der Matrix. Das geht so, da die Eigenvektoren, die den Raum erzeugen, den gleichen Eigenwert haben.
Beispiel: A ist deine Matrix, x und y die 2 Vektoren, die den Eigenraum aufspannen.
Es gilt also $Ax=2x$ und $Ay=2y$.
Betrachtet man nun $A(ax+by)=Aax+Aby=aAx+bAy=a*2x+b*2y=2(ax+by). (a,b [mm] \in \IR)$
[/mm]
Wie du siehst, ist $ax+by$ auch ein Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Daher ist dein Vektor [mm] \vektor{2\\1\\2} [/mm] auch ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 (probier es aus!)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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