Eigenvektor bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren von:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & 1 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen. Ich bin der DaMOEkles und um ehrlich zu sein, ist Mathe für mich ein rotes Tuch. Leider schreibe ich bald eine wichtige Klausur und deswegen habe ich eine Frage.
Hier erstmal meine bisherige Lösung der Aufgabe:
A = [mm] \pmat{ 1- \lambda & 1 \\ -2 & 1- \lambda }
[/mm]
[mm] (1-\lambda)*(1-\lambda)+2 [/mm] = 0
[mm] 1-\lambda-1*\lambda+\lambda^{2}+2 [/mm] = 0
[mm] \lambda^{2}-2*\lambda+3 [/mm] = 0
[mm] x_{1,2}=-\bruch{-2}{2} \pm \wurzel{\bruch{2}{2}^{2}-3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1,2}=1 \pm \wurzel{-2}
[/mm]
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2*i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1-2*i
weiter gehts ja folgendermaßen:
[mm] (A-\lambda_{1}*E)*x [/mm] = 0
also tu ich das
(A-(1+2*i)*E)*x = 0
= [mm] \pmat{ 1-(1+2*i) & 1-(1+2*i) \\ -2-(1+2*i) & 1-(1+2*i) } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
So ... wenn ich das jetzt weiterverfolge kommt bei mir nur noch Unsinn raus. Gibt es da einen Trick, mit dem ich dem ich die Komplexe Zahl umwandeln kann, oder so?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß DaMOEkles
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren von:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -2 & 1 }[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo alle zusammen. Ich bin der DaMOEkles und um ehrlich
> zu sein, ist Mathe für mich ein rotes Tuch. Leider schreibe
> ich bald eine wichtige Klausur und deswegen habe ich eine
> Frage.
>
> Hier erstmal meine bisherige Lösung der Aufgabe:
>
> A = [mm]\pmat{ 1- \lambda & 1 \\ -2 & 1- \lambda }[/mm]
>
> [mm](1-\lambda)*(1-\lambda)+2[/mm] = 0
>
> [mm]1-\lambda-1*\lambda+\lambda^{2}+2[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda^{2}-2*\lambda+3[/mm] = 0
>
>
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{-2}{2} \pm \wurzel{\bruch{2}{2}^{2}-3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1,2}=1 \pm \wurzel{-2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2*i
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1-2*i
>
>
> weiter gehts ja folgendermaßen:
>
> [mm](A-\lambda_{1}*E)*x[/mm] = 0
>
> also tu ich das
>
> (A-(1+2*i)*E)*x = 0
>
> = [mm]\pmat{ 1-(1+2*i) & 1-(1+2*i) \\ -2-(1+2*i) & 1-(1+2*i) }[/mm]
> * [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> So ... wenn ich das jetzt weiterverfolge kommt bei mir nur
> noch Unsinn raus. Gibt es da einen Trick, mit dem ich dem
> ich die Komplexe Zahl umwandeln kann, oder so?
> Ich bin für jede Hilfe dankbar!
>
> Gruß DaMOEkles
>
Hallo DaMOEkles!
Achtung! Bei dir gibts 2 Gründe warum unsinn rauskommt:
1.) Du hast die Eigenwerte falsch berechnet! Die richtigen sind: [mm]1 \pm \wurzel{2}*i[/mm]
2.) Du hast die Matrix E interpretiert als die Matrix mit lauter Einsen! In Wirklichkeit ist E jedoch die Einheitsmatrix, d.h. Einsen in der Hauptdiagonale und sonst lauter Nullen.
Das richtige LGS sieht jetzt so aus:
[mm]\pmat{ 1-(1+\wurzel{2}*i) & 1 \\ -2 & 1-(1+\wurzel{2}*i) }[/mm]
und die Umformungen sind im Komplexen halt a bissl lästig:
[mm]\pmat{ 1-(1+\wurzel{2}*i) & 1 \\ -2 & 1-(1+\wurzel{2}*i) }[/mm] ~
[mm]\pmat{ -\wurzel{2}*i) & 1 \\ -2 & -\wurzel{2}*i) }[/mm]~
und jetzt erste zeile mit [mm]\wurzel{2}*i[/mm] multiplizieren und zur 2. dazuaddieren...
~[mm]\pmat{ -\wurzel{2}*i) & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
und wennst jetzt mit i multiplizierst und dann durch wurzel 2 dividierst sollte das Ganze kein Problem mehr darstellen
Hoffe dass ich dir helfen konnte
Michael
|
|
|
| |
|
Danke für deine schnelle Antwort, aber ich hätte da noch eine Frage.
> ~[mm]\pmat{ -\wurzel{2}*i & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> und wennst jetzt mit i multiplizierst und dann durch wurzel
> 2 dividierst sollte das Ganze kein Problem mehr darstellen
Würde dann nicht sowas dabei rauskommen?
-> mit i multiplizieren:
[mm]\pmat{ -\wurzel{2}*1 & i \\ 0 & 0 }[/mm]
-> durch wurzel 2 dividieren
[mm]\pmat{ -1 & \bruch{i}{\wurzel{2}} \\ 0 & 0 }[/mm]
Da habe ich das ganze doch nur vertauscht, oder habe ich wieder einen Fehler gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Sa 13.05.2006 | | Autor: | taura |
Hallo DaMOEkles!
Nein das ist so schon richtig, allerdings nicht unbedingt notwendig. Du erhälst das Gleichungssystem
[mm] $\pmat{ -\sqrt{2}*i & 1 \\ 0 & 0 }*\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}$
[/mm]
Wenn du dieses Gleichungssystem löst, erhälst du den Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda_1$ [/mm] (in diesem Fall eindimensional), ein Eigenvektor ist dann ein beliebiger Vektor aus diesem Eigenraum.
Gruß taura
|
|
|
|
