Eigenvektor zum Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine lineare Abbildung [mm] L:R^2 \to R^2 [/mm] ist gegeben durch L: [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] und L: [mm] \vektor{2 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 0}.
[/mm]
a) bestimmen Sie einen Eigenvektor von L zum Eigenwert 3.
b) Bestimmen Sie L [mm] \vektor{-3 \\ 0}! [/mm] |
Hallo erstmal!
zu a) Meine frage lautet wie folgt. Ich weiß wie ich den eigenvektor zu einem gegeben eigenwert berechne und war mit der gleichung (A- [mm] \lambda [/mm] * I)v=0, wobei A die matrix, [mm] \lambda [/mm] der eigenwert und I die einheitsmatrix ist. Nur benötige ich nun eine Matrix A aber habe nur eine lineare abbildung, wie bekomme ich daraus meine matrix?
zu b) wie muss ich vorgehen um die abbildung bestimmen?
danke im voraus!
mfg
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Hallo Medium und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Eine lineare Abbildung [mm]L:R^2 \to R^2[/mm] ist gegeben durch [mm] L\red{\left(}\vektor{1 \\ 0}\red{\right)}=\vektor{3 \\ 0} [/mm] und [mm] L\red{\left(}\vektor{2 \\ -3}\red{\right)}=\vektor{-6 \\ 0}
[/mm]
> a) bestimmen Sie einen Eigenvektor von L zum Eigenwert 3.
> b) Bestimmen Sie L [mm]\vektor{-3 \\ 0}![/mm]
> Hallo erstmal!
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> zu a) Meine frage lautet wie folgt. Ich weiß wie ich den
> eigenvektor zu einem gegeben eigenwert berechne und war mit
> der gleichung (A- [mm]\lambda[/mm] * I)v=0, wobei A die matrix,
> [mm]\lambda[/mm] der eigenwert und I die einheitsmatrix ist. Nur
> benötige ich nun eine Matrix A aber habe nur eine lineare
> abbildung, wie bekomme ich daraus meine matrix?
Die musst du dir aus den Angaben basteln.
Du hast hier die lineare Abbildung durch die explizite Angabe der Bilder einer Basis [mm] $\mathbb{B}=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{2\\-3}\right\}$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] gegeben.
Daraus kannst du wie üblich die Darstellungsmatrix oder Abbildungsmatrix bestimmen.
Die Bilder der Basis als LK der Basis darstellen, die Koeffizienten als Spalten(vektoren) in die Abbildungsmatrix packen... - wie üblich halt 
Dann kannst du auch direktemeng kontrollieren, dass 3 auch wirklich ein Eigenwert ist (den anderen bekommst du dann auch gleich mitgeliefert)
>
> zu b) wie muss ich vorgehen um die abbildung bestimmen?
Na, was ist das "schöne" an der Abbildung?
Sie ist linear, dh. [mm] $L(\lambda_1\cdot{}v_1+\lambda_2\cdot{}v_2)=\lambda_1\cdot{}L(v_1)+\lambda_2\cdot{}L(v_2)$ [/mm] mit [mm] $\lambda_i\in\IR, v_i\in\IR^2$
[/mm]
Das kannst (und solltest) du hier ausnutzen - denk' dran, du kennst die Bilder einer Basis
Alternativ kannst du die in (a) berechnete Abbildungsmatrix $A$ benutzen.
Es gilt ja: [mm] $L(v)=A\cdot{}v$
[/mm]
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> danke im voraus!
> mfg
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LG
schachuzipus
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(a) Bestimmen Sie einen Eigenvektor von L zum Eigenwert 3.
Aus der Aufgabenstellung kann man ablesen, dass [mm] L\vektor{1\\0}=\vektor{3\\0}=3\vektor{1\\0}.
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{1\\0} [/mm] ein Eigenvektor von L zum Eigenwert 3.
(b) Bestimmen Sie [mm] L\vektor{-3\\0}.
[/mm]
[mm] L\vektor{-3\\0}=L(-3\vektor{1\\0})=( [/mm] wegen Linearität von [mm] L)=(-3)*L\vektor{1\\0}=(-3)*\vektor{3\\0}=\vektor{-9\\0}[/mm]
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