Eigenvektoren aus Schur-Normal < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo und schönen guten Abend!
Ich sitze jetzt seit zwei Tagen an einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter. Dabei geht es um die Bestimmung von Eigenvektoren aus der reelen Schur-Normalform. Ich habe folgendes gegeben: [mm]A \in \IR^{nxn}[/mm]. Die Schur Normalform ist gegeben durch [mm]Q^{T}AQ= \pmat{ R_{11} & R_{12} & R_{13} & \ldots & R_{1m} \\ & R_{22} & R_{23} & \ldots & \vdots \\ & & R_{33} & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & R_{mm}}=R[/mm] mit [mm] \begin{cases} R_{jj} \in \IR & oder & R_{jj} \in \IR^{2} , \\ Q & orthogonal \end{cases}[/mm]
Es ist vorausgesetzt, dass alle Eigenwerte von A verschieden sind.
Jetzt sei [mm]R_{jj} \in \IR^{2x2}[/mm] und [mm]R_{jj}[/mm] besitze zwei komplex konjugierte Eigenwerte [mm]\lambda, \lambda^{\*}[/mm]. Gesucht ist der komplexe Eigenvektor [mm]v_{j}[/mm] von R zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] mit [mm]Im \lambda \not= 0[/mm].
Ich soll nun die Aufspaltung [mm]R- \lambda*I= \pmat{ S_{11} & S_{12} & S_{13} \\ & S_{22} & S_{23} \\ & & S_{33} }[/mm], sodass [mm] S_{22}= R_{jj}- \lambda* \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\in \IC^{2x2}[/mm].
Nun soll ich zeigen:
a) dass ein Vektor [mm]z \in \IC^{2}[/mm] existiert mit [mm]||z||_{2}=1[/mm] und [mm]S_{22}z=0[/mm].
b) es soll eine Darstellung von [mm]v_{j}[/mm] gefunden werden
c) Wie muss man das lineare Gleichungssystem mit [mm]S_{11}[/mm] behandeln?
Ich hoffe, dass jemand eine idee hat!?
Danke im Voraus an alle, die sich die Mühe machen!
Gruß
Jörg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich bearbeite diese Aufgabe auch und komme bei diesem Teil leider auch nicht weiter.
Vielleicht hat jemand eine Idee, wenn ich mal kurz die reelle Variante vorstelle, die man zuvor bearbeiten sollte:
Bessitzt A nur reelle Eigenwerte, so sind die R_jj reelle Zahlen.
Für die Matrix S_22 ergibt sich dann, dass diese gleich 0 ist (1x1).
Dementsprechend überlegt man sich, welche Größen die Blockmatrizen besitzen:
S_11: (j-1)x(j-1)
S_12: (j-1)x1
S_13: (j-1)x(j-n)
S_22: 1x1
S_23: 1x(j-n)
S_33: (j-n)x(j-n)
Sowohl S_11 als auch S_33 sind Diagonalblockmatrizen.
Demnach löst das LGS [mm] S*v_j= [/mm] 0 das Eigenwert/_vektorproblem, wobei S aus diesen Blockmatrizen besteht.
Man kann sich überlegen, dass [mm] v_j [/mm] folgende Gestalt haben muss:
[mm] v_j(v(1),...,v(j-1),1,0...0),
[/mm]
da der Nullvektor, den man erhält, falls man den Eintrag an der j-ten Stelle nicht 1 wäht, kein Eigenvektor ist.
Man erhält schließlich:
S_11*w = -S_12,
wobei w=(v(1),...,v(j-1))^tr.
Dieses LGS löst also das Eigenvektorproblem.
Das gleiche Prinzip habe ich auch auf die Aufgabe von Jörg versucht anzuwenden, aber da hakt es!
Vielleicht hilft das aber jemand anderem!
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Hallo joergi!
Zu a) Wir wissen, dass [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\bar \lambda [/mm] $ Eigenwerte von [mm] $R_{22}$ [/mm] sind, also sind $0$ und [mm] $\lambda+\bar\lambda$ [/mm] Eigenwerte von [mm] $S_{22}$. [/mm] Also gibt es einen Vektor [mm] $z\in \IC^2$, $\|z\|=1$ [/mm] mit [mm] $S_{22}z=0$! [/mm] Das ist gerade der Eigenvektor von [mm] $S_{22}$ [/mm] zum Eigenwert $0$!
Zu b): Wir suchen einen Vektor $v$ mit [mm] $(R-\lambda [/mm] I)v=0$. Zerlegen wir ihn in drei Teile: [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}$, [/mm] wobei [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] auch wieder Vektoren sind, die gerade die geeignete Länge haben! Es muss also gelten:
[mm] $0=\pmat{S_{11}&S_{12}&S_{13}\\0&S_{22}&S_{23}\\0&0&S_{33}} \vektor{v_1\\v_2\\v_3}= \vektor{S_{11}v_1+S_{12}v_2+S_{13}v_3\\ S_{22}v_2+S_{23}v_3\\S_{33}v_3}$.
[/mm]
Da [mm] $S_{33}v_3=0$, [/mm] aber 0 kein Eigenvektor von [mm] $S_{33}$ [/mm] (sonst wäre ja [mm] $\lambda$ [/mm] doppelter Eigenwert von $R$...), muss [mm] $v_3=0$ [/mm] gelten!
Also muss [mm] $S_{22}v_2= [/mm] 0$ gelten. Daraus folgt - nach Teil a) - [mm] $v_2=c*z$! [/mm] Ohne Einschränkung können wir $c=1$ annehmen.
Für die erste Komponente gilt damit: [mm] $S_{11}v_1+S_{12}z=0$. $S_{11}$ [/mm] ist invertierbar (da $0$ kein EW von [mm] $S_{11}$ [/mm] ist, die Leier kennen wir ja inzwischen...), deshalb ist [mm] $v_1=-S_{11}^{-1}S_{12}z$! [/mm]
Du definierst dir also [mm] $v:=\vektor{-S_{11}^{-1}S_{12}z\\z\\0}$. [/mm] Dabei steht die $0$ für einen Vektor, der gerade so lang ist, dass [mm] $v\in\IR^n$.
[/mm]
Jetzt bleibt nur noch c). Da geht's eigentlich nur darum, den Vektor [mm] $-S_{11}^{-1}S_{12}z$ [/mm] zu finden. Bekanntlich kriegen Numeriker ja einen Herzinfarkt, wenn jemand vorschlägt, eine Matrix zu invertieren... Deshalb lösen sie das lineare Gleichungssystem [mm] $S_{11}v_1=-S_{12}z$. [/mm] Dabei kann ich dir im Moment aber auch nicht weiterhelfen, es fehlt an der zündenden Idee. Vielleicht wollen sie aber auch einfach nur irgendein Stichwort hören...
Hilft dir das weiter? Hast du die Schritte verstanden?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 So 15.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Banachella,
danke für Deine Antwort, ich hatte mich im Fälligkeitsdatum geirrt, und wir mussten die Aufgabe nichtsdestotrotz bereits am Mittwoch abgeben. Das macht aber nichts, bis auf den Teil a), wenn ich Deinen Ansatz richtig verstanden habe, habe ich das auch so gemacht, bin also doch noch zu einer, anscheinend richtigen Lösung gekommen. Vielen Dank für Deine Mühen, Du hast echt immer die zündenden Ideen.
Viele Liebe Grüße
Jörg
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Hallo allerseits,
![[]](/images/popup.gif) Hier wurde die Frage auch gestellt.
gruß
mathemaduenn
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