Eigenwert, -raum, Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Hoffentlich könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen.
Wir haben diese Standardmatrix gegeben:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 }
[/mm]
Ich habe mal versucht das charkteristische Polynom auszurechnen:
(x-1)* [mm] x^{2}*(x-3)= x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}
[/mm]
Bin mir aber nicht sicher, ob diese richtig ist, da ich nur mit den diagonalen Zahlen gerechnet habe.
Naja nun denn, wir sollenEigenwerte und Eignräume herausbekommen.
dazu muss ch aber erts wissen ob mein charakt. Polynom richtig ist und diese dann bloß Null setten und die Ergebnisse sind dann doch die Werte.
Bei den Räumen hätte ich Probleme, da ich nicht wüsste wie ich die Basen bestimmen sollte dieser rauskriege (die sollen wir angeben).
Noch so zum schluß wie prüft man eigentlich die algebr. und geometr. Vielfachheit.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 So 01.05.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hi!
Also du wendest einfach die Formel
p(x)=det(x*Id-A) an
det [mm] \pmat{ x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 &- 1 \\ 0 & -1 & x &+3 \\ 0 & 0 & -1 & x-3 } [/mm]
indem du zb nach der 1. zeile entwickelst erhälst du
[mm] p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1
[/mm]
Dann siehst du [mm] p(x)=(x-1)^4, [/mm] das beduetet die matrix hat nur Eigenwerte 1.
Jetzt kannst du noch das Minimalpolynom bestimmen.
x-1 kann es nicht sein, da die matrix nicht die einheitsmatrix ist.
Du siehst [mm] (x-1)^2 [/mm] ist es auch nicht aber [mm] (A-1)^3. [/mm] Also ist das Mipo
[mm] m(x)=(x-1)^3
[/mm]
Jetzt gibt es da so gewisse regeln mit den Vielfachheiten.
Ich glaube algebraische Vielfachheit war die im Char. polynom, geometrische die im mipo.
Hoffe das hilft etwas weiter
Gruß
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