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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 31.03.2009 | | Autor: | pittster |
sei A die Matrix A = [mm] $\begin{pmatrix}a\ b\\c\ d\end{pmatrix}$ [/mm] dann sind die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms von A die eigenwerte.
Das Charakteristische Polynom ist [mm] $det(\lambda E_2 [/mm] - A)$.
Aber wie berechne ich nun das Polynom? Die Unbekannte [mm] $\lambda$ [/mm] verkompliziert das berechnen der Determinante ja etwas. Bei der Matrix oben ist das ja noch recht einfach:
[mm] $det(\lambda E_2 [/mm] - A)$ = [mm] $\begin{vmatrix}\lambda - a\ \ -b \\ -c\ \ \lambda - d\end{vmatrix}$ [/mm] = [mm] $(\lambda [/mm] - [mm] a)(\lambda [/mm] - d) - bc$
Mit der Leibnitz-Methode kann man zwar kleinere Determinanten berechnen aber bei Matritzm $A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n; [mm] \mathbb{K})$ [/mm] mit größerem n ist das eine ziemlich unhandliche Sache. Wie kann man das charakteristische Polynom berechnen?
lg, Dennis
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Hallo Dennis,
> sei A die Matrix A = [mm]\begin{pmatrix}a\ b\\c\ d\end{pmatrix}[/mm]
> dann sind die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms
> von A die eigenwerte.
>
> Das Charakteristische Polynom ist [mm]det(\lambda E_2 - A)[/mm].
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> Aber wie berechne ich nun das Polynom? Die Unbekannte
> [mm]\lambda[/mm] verkompliziert das berechnen der Determinante ja
> etwas. Bei der Matrix oben ist das ja noch recht einfach:
>
> [mm]det(\lambda E_2 - A)[/mm] = [mm]\begin{vmatrix}\lambda - a\ \ -b \\ -c\ \ \lambda - d\end{vmatrix}[/mm]
> = [mm](\lambda - a)(\lambda - d) - bc[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit der Leibnitz-Methode kann man zwar kleinere
> Determinanten berechnen aber bei Matritzm [mm]A \in M(n \times n; \mathbb{K})[/mm]
> mit größerem n ist das eine ziemlich unhandliche Sache. Wie
> kann man das charakteristische Polynom berechnen?
Hmm, ok für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen gibt's die nette Formel von oben, die man auch auf "größere" Matrizen ausdehnen kann, die dann aber furchtbar grässlich wird, schaue mal auf Wikipedia rein...
Für [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen gibt's noch die Regel von Sarrus.
Bei allem, was größer ist, hilft vernünftig wohl nur Entwicklung nach Laplace.
Suche immer eine Zeile oder Spalte, in denen möglichst viele Nullen stehen und entwickele entsprechend nach dieser.
Das erspart zumindest etwas Arbeit.
In Klausuren kommen aber eigentlich immer nur "schöne" Matrizen dran, das will ja auch alles in begrenztem zeitlichen Rahmen berechnet sein ... 
>
> lg, Dennis
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Gruß
schachuzipus
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> mit größerem n ist das eine ziemlich unhandliche Sache. Wie
> kann man das charakteristische Polynom berechnen?
Hallo,
wie schachuzipus schon sagt: Laplaaceentwicklung.
Den Nullen in Zeilen oder Spalten kann man in Klausuraufgaben, wenn es Matrizen, die größer als 3x3 sind, oft noch nachhelfen, wenn man passende Zeilen oder Spalten addiert/subtrahiert. Danach sollte man unbedingt Ausschau halten, es kann die Rechenzeit sehr verkürzen.
Gruß v. Angela
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