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| Aufgabe | a.) Beweisen Sie: Ist a ein Eigenwert von A, so hat [mm] A^k [/mm] den Eigenwert [mm] a^k (k\in\IN).
[/mm]
b.) Gilt auch die Umkehrung? Begründen Sie Ihre Antwort. |
bekanntlich gilt ja: [mm] M*v=\lambda*v
[/mm]
bezogen auf a.):
Av=av und [mm] A^{k}v=a^{k}v
[/mm]
Ich hab jetzt nur nicht wirklich ne Ahnung wie ich a.) beweisen könnte, mit dem Schritt evtll.:?
[mm] Av-av=A^{k}v-a^{k}v
[/mm]
[mm] Av-A^{k}v=-a^{k}v+av
[/mm]
[mm] Av(1-A^{k-1})= av(-a^{k-1}+1)
[/mm]
könnte mir da jemand vielleicht nen bisschen auf die Sprünge helfen?
liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 09.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a.) Beweisen Sie: Ist a ein Eigenwert von A, so hat [mm]A^k[/mm] den
> Eigenwert [mm]a^k (k\in\IN).[/mm]
> b.) Gilt auch die Umkehrung?
> Begründen Sie Ihre Antwort.
> bekanntlich gilt ja: [mm]M*v=\lambda*v[/mm]
Wieso gilt das bekanntlich? Wenn M = 1, v = 2 und [mm] \lambda [/mm] = 3 ist, dann gilt das doch nicht! Das kann man so einfach nicht schreiben, ohne zu sagen, was mit den verschiedenen Buchstaben gemeint ist.
> bezogen auf a.):
>
> Av=av und [mm]A^{k}v=a^{k}v[/mm]
>
> Ich hab jetzt nur nicht wirklich ne Ahnung wie ich a.)
> beweisen könnte, mit dem Schritt evtll.:?
Diese Behauptung schreit doch förmlich nach einem Beweis mittels vollständiger Induktion, versuch's mal.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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jop,damit klappts:
[mm] A^{k+1}v=a^{k+1}v
[/mm]
[mm] A^{k+1}v=AA^{k}v=Aa^{k}v=a^{k}Av=a^{k}aV=a^{k+1}v
[/mm]
nun war noch die Frage danach, ob das auch für die Umkehrung gilt, wie begründet man das?
liebe Grüüüüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> jop,damit klappts:
>
> [mm]A^{k+1}v=a^{k+1}v[/mm]
>
> [mm]A^{k+1}v=AA^{k}v=Aa^{k}v=a^{k}Av=a^{k}aV=a^{k+1}v[/mm]
>
> nun war noch die Frage danach, ob das auch für die
> Umkehrung gilt, wie begründet man das?
nehmen wir doch einfach mal die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Einheitsmatrix, nennen wir sie [mm] $E=E_2$. [/mm]
Hier gilt [mm] $E^2=E$, [/mm] also [mm] $\det(\lambda*E^2-E)=\det(\lambda*E-E)=0$ $\gdw$ $\lambda=1$. [/mm] D.h. die Einheitsmatrix $E$ (und damit auch [mm] $E^2$) [/mm] hat einzig und allein den Eigenwert $1$.
Nun gilt aber auch für $a=-1$:
[mm] $a^2=(-1)^2=1$, [/mm] d.h. mit $a=-1$ ist [mm] $a^2$ [/mm] ein Eigenwert von [mm] $E^2=E*E=E$, [/mm] aber $a=-1$ war kein Eigenwert von $E$.
Die Umkehrung gilt also i.a. nicht.
Ein Problem ist hier z.B. folgendes:
Es gilt für $r > 0$:
Ist $k$ gerade, so gilt [mm] $a^k=r$ $\gdw$ $a=\pm \sqrt[k]{r}$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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