Eigenwertbedeutung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo zusammen.
Mir ist aufgefallen, dass mir das mit den Eigenwerten wohl noch nicht ganz klar ist.
Die Definition lautet ja: Av= [mm] \lambdav
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] ist dann der Eigenwert.
Nehmen wir jetzt mal folgende Aufgabe als Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 2 } [/mm] sei A, [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] sei v.
Als Eigenwert von A erhält man -1 und 4. Dann müsste ja [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 2 }\vektor{1 \\ 2}=\lambda\vektor{1 \\ 2} [/mm] sein.
Ich erhalte allerdings [mm] \vektor{5 \\ 7}=\vektor{4 \\ 8}
[/mm]
Ich würde mich freuen wenn ihr mir erklären könntet wo mein Denkfehler liegt.
MfG, Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mi 01.06.2005 | | Autor: | c.t. |
Hallo Olek,
Ich kenne folgende Definition: Ein [mm] \lambda \in [/mm] K heißt Eigenwert von f, falls ein Vektor v [mm] \in [/mm] V ex. mit [mm] (fv)=\lambda [/mm] v. Ein solcher Vektor heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] (K ist hier ein bel. Körper und f: [mm] V\to [/mm] V eine lineare Abbildung).
D.h. also nicht jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V ist automatisch ein Eigenvektor. Wie du gezeigt hast ist (1, 2) z.B. kein Eigenvektor.
Eigenvektoren findet man nun folgendermaßen:
1. Schritt: Man bestimmt das charakteristische Polynom und berechnet dessen Nullstellen, welche dann die Eigenwerte sind. Das hast du getan.
2. Schritt: Man bestimmt eine Basis für jeden Eigenraum. Falls du das noch nicht weisst: Ein Eigenraum [mm] V_{\lambda} [/mm] ist ein Unterraum von V, wobei die Elemente aus [mm] V_{\lambda} [/mm] nur Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] sind und der Nullvektor.
Eine Basis bestimmt man nun folgendermaßen: Berechne das homogene Lineare Gleichungssystem (A- [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{dim V}) [/mm] *v =0, wobei [mm] E_{dim V} [/mm] die Einheitsmatrix vom Rang dim V ist, v:= [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{dim V})
[/mm]
Wenn du das getan hast, bekommst du die Bedingungen für die Basis und kannst sie formulieren. Aus der Basis kannst du dann natürlich jeden Eigenvektor darstellen.
Zur Verdeutlichung will ich mal den zweiten Schritt für dein Bsp. vorführen:
Wir bestimmen also als erstes den Eigenraum zum Eigenwwert -1 also [mm] V_{-1}. [/mm] Wir wissen, da -1 nur eine einfache Nullstelle ist, dass sim [mm] V_{-1}=1
[/mm]
Berechne nun das homogene LGS: also [mm] \pmat{1+1 & 2 \\ 3 & 2+1} [/mm] und erhalten die Bedingung [mm] x_{1}=-x_{2} [/mm] . Wir nehmen also die Basis (1, -1) für [mm] V_{-1}. [/mm] Wie du siehst ist nun A*(1, -1)= (-1, 1)= -1(1, -1) , also ist (1, -1) ein Eigenvektor. Alle anderen Eigenvektoren zum Eigenwert -1 sind nun einfach skalare Vielfache von (1, -1)
Mit dem Eigenraum [mm] V_{4} [/mm] verfährt man analog.
Übrigens die Basen der Eigenräume bilden zusammen eine Basis von ganz V, mit der man noch einige interessante Dinge machen kann.
Ich hoffe meine Ausführungen waren hilfreicher, als verwirrend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
wenn das v Grundsätzlich ein Eigenvektor sein muß, damit Av= [mm] \lambda [/mm] v gilt, dann hab ich auch keine Verständnisprobleme mehr. Eigenvektoren auszurechnen krieg ich hin (auch wenns mir nichts bringt, weil wir ja sowieso nur beweisen ...).
Schönen Dank,
Olek
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