Eigenwertbestimmung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mo 21.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Sei (V, <,>) euklidischer Vektorraum, dim V=n < [mm] \infty [/mm] und L [mm] \in [/mm] End(V) selbstadjungiert. Es seien [mm] \lambda_{1} \le \lambda_{2} \le [/mm] ... [mm] \le \lambda_{n} [/mm] die Eigenwerte von L und [mm] (a_{1},...,a_{n}) [/mm] eine ONB aus Eigenvektoren von L mit [mm] L(a_{i})=\lambda_{i}a_{i}. [/mm] Zeigen Sie für 1 [mm] \le [/mm] k < n:
[mm] \lambda_{k+1}=min\{ R_{L}(v) | v \in \{a_{1},...,a_{k} \}^{\perp} \backslash \{ 0 \} \} [/mm] |
Hallo,
obige Aufgabe ist auf meinem aktuellen Übungsblatt zu Lineare Algebra II. Ich hab eigentlich schon Hintergrundwissen in Sachen Eigenwerte und -vektoren. Aber bei der Aufgabe weiß ich nciht ganz, wie ich da ran soll.
Kann mir da jemand weiterhelfen??
Danke schon mal!
Gruß Michi
PS: Ach ja, [mm] R_{L}(v) [/mm] ist hier der Rayleigh-Quotient [mm] \bruch{}{}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 21.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
Hallo Michael!
Da der Rayleigh-Quotient homogen vom Grad $0$ ist, koennen wir uns auf solche $v$ beschraenken, fuer die [mm] $\vert [/mm] v [mm] \vert [/mm] =1$. Sei also [mm] $v\in\{a_1,...,a_k\}^\perp$, [/mm] das heisst also es gibt [mm] $\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n$, [/mm] so dass [mm] $v=\sum_{i=k+1}^n \alpha_i a_i$. [/mm] Beachte, dass wegen [mm] $\vert v\vert=1$ [/mm] gilt [mm] $\sum_{i=k+1}^n \alpha_i^2=1$. [/mm] Mit dieser Information expandierst du jetzt den Ausdruck $<L(v),v>$, wobei du benutzen musst, dass die [mm] $a_i$ [/mm] eine ONB bilden. Zuletzt benutzt du, dass die Eigenwerte geordnet sind, dass heisst, dass [mm] $\lambda_{k+1}\leq \lambda_i$ [/mm] fur alle [mm] $i\in\{k+2,\ldots,n\}$. [/mm] Damit erhaelst du eine Ungleichung (statt Gleichheit wie in der Aufgabenstellung). Im zweiten Schritt suchst du dir ein spezielles $v$, fuer welches du sogar Gleichheit erhaelst 
LG, Kornfeld
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Versuch's mal straight forward: Setze dein v als Linearkombination der [mm] a_{k+1} [/mm] ... [mm] a_n [/mm] in die Definition ein; nutze, dass es L linear ist, dass die [mm] a_i [/mm] Eigenvektoren und orthonormal sind und dann sollte nach einigem Rechnen das Richtige herauskommen - vermute ich mal - hab's nicht durchgerechnet ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 22.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Ich hänge an der gleichen Aufgabe.
Bisher habe ich folgendes zustande gebracht :
v [mm] \in {a_{1}, .... , a_{k}}\perp
[/mm]
-> v= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}
[/mm]
[mm] R_{L} [/mm] (v) = [mm] \bruch{}{} [/mm]
= [mm] \bruch{}
[/mm]
= [mm] \bruch{<\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} L(a_{i}),\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}
>}{<\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}, \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}}
[/mm]
= [mm] \bruch{<\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} \lambda_{i} a_{i}, \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}>}{<\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}, \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}>}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht wie ich weiterkomme.
Liebe Grüße Leni
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> = [mm]\bruch{<\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} \lambda_{i} a_{i}, \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}>}{<\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}, \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}>}[/mm]
Den Nenner kannst du dir sparen. Es war ja [mm] $\vert v\vert=1$ [/mm] angenommen. Den Zaehler musst du jetzt auseinanderziehen und die Relationen [mm] $\langle a_i,a_j\rangle=\delta_{ij}$ [/mm] verwenden, wobei [mm] $\delta_{ij}$ [/mm] das Kronecker-Symbol ist. Das laesst den Ausruck auf $n-k$ Summanden zusammenschmilzen. Danach benutzt du, dass [mm] $\lambda_{k+1}$ [/mm] der kleinste Eigenwert im Raum [mm] $\{a_{k+1},\ldots,a_n\}$ [/mm] ist.
Das beweist aber nur eine Ungleichung. Danach musst du ein spezielles $v$ angeben, das $=$ realisiert.
Ich sehe, dass du in Balingen wohnst. Studierst du etwa in Freiburg?
Liebe Gruesse, kornfeld
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:24 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Was bedeutet denn "homogen vom Grad 0"? Das verstehe ich nicht ganz. Kannst du nochmal erklären, warum |v|=1 ist?
Das mit dem Kronecker-Symbol habe ich verstanden. Im Zähler bleibt dann praktisch [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_{i} [/mm] übrig, richtig?
Und diese Summe ist minimal für n=k+1, da [mm] \lambda_{k+1} [/mm] der kleinste Eigenwert ist, oder?
Lg Leni
PS: Ja, ich studiere in Freiburg Woher weißt du das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Noch was zur Gleichheit.
Wir haben also jetzt : [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_{i} \ge \lambda_{k+1}
[/mm]
und Gleichheit gilt genau dann wenn n=k+1 ist, wenn die Dimension des Orthogonalraums der ONB also 1 ist, bzw. wenn v= [mm] \alpha_{k+1} a_{k+1} [/mm] ist, richtig?
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> Noch was zur Gleichheit.
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> Wir haben also jetzt : [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \lambda_{i} \ge \lambda_{k+1}[/mm]
Deine Summe ist nicht korrekt. Siehe die vorige Mitteilung von mir.
> und Gleichheit gilt genau dann wenn n=k+1 ist, wenn die
> Dimension des Orthogonalraums der ONB also 1 ist, bzw. wenn
> v= [mm]\alpha_{k+1} a_{k+1}[/mm] ist, richtig?
Nein. Du hast [mm] $\sum_{i=k+1}^n \lambda_i \alpha_i^2$ [/mm] im Zaehler. Der Nenner war als $1$ angenommen (Homogenitaet). Diese Summe ist groesser als [mm] $\lambda_{k+1}$. [/mm] Warum? Gliedweise Minimalitaet von [mm] $\lambda_{k+1}$ [/mm] benutzen und die Voraussetzung [mm] $\vert v\vert=1$ [/mm] benutzen (Das solltest du einmal richtig ausschreiben, sonst siehst du es nicht. Nimm zur Einfachheit den Ausdruck [mm] $\langle [/mm] v,v [mm] \rangle=\vert [/mm] v [mm] \vert \cdot \vert [/mm] v [mm] \vert$! [/mm] Gleichheit gilt nun, wenn einer der [mm] $\alpha_{i}$ [/mm] gleich $1$ ist. Welcher wohl?!
Kornfeld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mi 23.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
Hallo Leni
> Was bedeutet denn "homogen vom Grad 0"? Das verstehe ich
> nicht ganz. Kannst du nochmal erklären, warum |v|=1 ist?
Das bedeutet, dass der gesamte Ausdruck, will sagen der Rayleigh-Quotient, unveraendert bleibt, wenn du $v$ mit einem Skalar, sagen wir [mm] $\lambda\in\IR$, [/mm] multiplizierst. Das liegt daran, weil sowohl der Zaehler als auch der Nenner quadratisch in $v$ sind. DESWEGEN kann man sich auf solche $v$ beschraenken, die Laenge $1$ haben, [mm] $\vert v\vert [/mm] =1$. Das ist aber NICHT wesentlich fuer den Beweis. Es macht die Beweisfuehrung nur eleganter!
> Das mit dem Kronecker-Symbol habe ich verstanden. Im
> Zähler bleibt dann praktisch [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \lambda_{i}[/mm]
> übrig, richtig?
Nein. Schreibe mal [mm] $v=\sum_{i=k+1}^n \alpha_i a_i$ [/mm] und setze das in das in die Form [mm] $\langle L(v),v\rangle$ [/mm] ein. Da muessen noch Quadrate von den [mm] $\alpha_i$ [/mm] mit rauskommen, jeweils multipliziert mit den [mm] $\lambda_i$.
[/mm]
> Und diese Summe ist minimal für n=k+1, da [mm]\lambda_{k+1}[/mm]
> der kleinste Eigenwert ist, oder?
Sobald der Nanner korrekt da steht, benutzt du die Minimalitaet. Genau!
> Lg Leni
>
> PS: Ja, ich studiere in Freiburg Woher weißt du das?
Ich habe da auch studiert. Balingen ist ein kleines Dorf in der Naehe. War nur geraten. Bei wem hoerst du die Vorlesung zu der Aufgabe? Bei Bangert?
LG, Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Irgendwie komm ich einfach nicht weiter bzw. versteh die Aufgabe nicht ganz....
Ich habe mich jetzt nur mal auf den Zähler beschränkt und bin soweit gekommen, dass <L(v),v> = ......... = [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha{i}^2 \lambda_{i} [/mm] ist.
Nun kann ich doch aber nicht sagen, dass das Minimum der Summe [mm] \lambda_{k+1} [/mm] ist, weil ich weiß doch gar nicht wie groß [mm] \alpha_{k+1}^2 [/mm] ist.....oder?
Ich hab die Augfgabe übrigens wirklich bei Bangert. Hattest du ihn auch mal? Aber mit Balingen hattest du leider nicht recht. Ich komm aus Balingen zwischen Tübingen und Rottweil. Das Bahlingen bei Freiburg schreibt man nämlich mit h 
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Hallo nach Freiburg!
> Irgendwie komm ich einfach nicht weiter bzw. versteh die
> Aufgabe nicht ganz....
Keine Panik. Du hast es fast geschafft.
> Ich habe mich jetzt nur mal auf den Zähler beschränkt und
> bin soweit gekommen, dass <L(v),v> = ......... =
> [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha{i}^2 \lambda_{i}[/mm] ist.
> Nun kann ich doch aber nicht sagen, dass das Minimum der
> Summe [mm]\lambda_{k+1}[/mm] ist, weil ich weiß doch gar nicht wie
> groß [mm]\alpha_{k+1}^2[/mm] ist.....oder?
Wieso nicht? Die [mm] $\alpha_i^2$ [/mm] sind alle positiv. Ich gebe dir ein Beispiel:
[mm] \lambda_1=-1\leq 2=\lambda_2 [/mm]
[mm] \alpha_1=\frac{1}{\sqrt{2}}=\alpha_2[/mm]
Dann ist
[mm]\lambda_1\alpha_1^2 + \lambda_2\alpha_2^2=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}=\frac{1}{2}>-1[/mm]
Beachte, dass [mm] $\sum_{j}\alpha_j^2=1$, [/mm] dann ist die summe
[mm] \sum_{i=k+1}^{n} \alpha_{i}^2 \lambda_{i}
[/mm]
eine sogenannte Konvexkombination aus den Lambda's. Dieser Wert ist IMMER groesser-gleich als der kleinste Werte unter den Lambda's.
> Ich hab die Augfgabe übrigens wirklich bei Bangert. Hattest
> du ihn auch mal?
Nicht in den Anfaengervorlesungen aber in einigen Hauptseminaren und weiterfuehrenden Vorlesungen. Wenn ich mich nicht irre, macht der Hannes Gestrich-Junginger bei ihm die Uebungen, und den musst du mir ganz lieb gruessen! Sag' ihm einfach "der Italiener" hat's dir gesagt.
Aber mit Balingen hattest du leider nicht
> recht. Ich komm aus Balingen zwischen Tübingen und
> Rottweil. Das Bahlingen bei Freiburg schreibt man nämlich
> mit h
Ach ja?! Na dann habe ich wohl wirklichen ein Bock geschossen...
Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ah super, ok danke. Aber wieso müssen wir denn unbedingt noch die Gleichheit zeigen. In der Aufgabe war ja vorgegeben, dass [mm] \lambda_{1} \le \lambda_{2}....... \le \lambda_{n} [/mm] ist. Folgt dann das [mm] \le [/mm] damit nicht automatisch?
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> Ah super, ok danke. Aber wieso müssen wir denn unbedingt
> noch die Gleichheit zeigen. In der Aufgabe war ja
> vorgegeben, dass [mm]\lambda_{1} \le \lambda_{2}....... \le \lambda_{n}[/mm]
> ist. Folgt dann das [mm]\le[/mm] damit nicht automatisch?
Nein. [mm] $\leq$ [/mm] bedeutet nicht automatisch auch $=$, und das war ja wirklich in der Aufgabe zu zeigen. Wie gesagt, ein $v$ realisiert Gleichheit. Wenn ich jetzt mal unauffaellig mit dem Fahnenmast winken darf, wuerde ich mal gucken, ob [mm] $v_0=a_{k+1}$ [/mm] vielleicht funktioniert....
Kornfeld.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Also vielen Dank nochmal. Ich hatte es auch selbst schon rausgefunden, dass [mm] v=a_{k+1} [/mm] sein muss....
Jetzt hab ich die Aufgabe auch kapiert...
Danke nochmal!
Grüße Leni
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