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Gegeben ist die Matrix
$A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 2 \\1 & -3 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Bestimme nun die Eigenwerte- und vektoren sowie die geometrische/algebraische Vielfachheit der Eigenwerte. |
1.) Für das charakteristische Polynom erhalte ich 0.
Denn es ist ja [mm] $A^3 [/mm] = 0$, d.h. die Matrix ist nilpotent (was noch nicht Stoff im Kurs war) oder: Die Berechnung der Determinante ergibt nach einigen Schritten 0, d.h. ich erhalte den Eigenwert [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$.
Für eine (nxn)-Matrix gilt ja aber auch die Darstellung des charakteristischen Polynoms $ [mm] P_A(X) [/mm] = [mm] (-1)^nX^n [/mm] + [mm] (-1)^{n-1}tr(A)X^{n-1} [/mm] + ... + det(A)$.
Das heißt dann, dass wegen n=5 der Eigenwert [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$ ein 5-facher Eigenwert ist?
2.) Für die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes benötige ich die Dimension des aufgespannten Unterraums mit den zugehörigen Eigenvektoren. Die Matrix A besitzt also den Eigenwert [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$. Ich bestimme nun die zugehörigen Eigenvektoren:
$(A - [mm] \lambda_1 E_n)x [/mm] = 0 [mm] \leftrightarrow Ax = 0$. Durch Zeilenumformungen der Matrix A gelange ich zur Nullmatrix. Dann gibt es aber keinen Eigenvektor.
Naja, irgendwas habe ich garantiert falsch gemacht, denn hiernach http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm müsste ich folgende Ergebnisse haben:
a) 0 ist ein vierfachter Eigenwert
b) Eigenvektoren sind [ 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ] [ 2 ; 2 ; -1 ; 0 ; 1 ].
3.) Die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit des Eigenwerts als Nullstelle. Das dürfte dann ja (s. arndt-bruenner) 4 sein.
[/mm]
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Die Berechnung der Nullmatrix war offenbar falsch. Ich erhalte:
$C' = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0&0&0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Dann habe ich gerade ein Büchlein vor mir liegen, in dem ich bereits einige Fehler entdeckt habe, aber in dem es heißt:
"Sei [mm] $l_1$ [/mm] Eigenwert der Vielfachheit [mm] $v_1$ [/mm] dann gibt es [mm] $m_1$ [/mm] lineare unabhängige Eigenvektoren. Dabei ist [mm] $m_1 [/mm] = n - rang(A - l_1E)$. In meinem Fall also ist [mm] $m_1 [/mm] = 5 - 3 = 2$. Es gibt also zwei linear unabhängige Eigenvektoren.
Aus der (nun hoffentlich richtig berechneten Matrix C') lese ich z.B. die beiden Eigenvektoren ab, die auch über arndt-bruenner berechnet wurden.
Offen ist nun noch, warum der Eigenwert Vielfachheit 4 besitzt und was dann für die algebraische/geometrische Vielfachheit folgt.
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> Gegeben ist die Matrix
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> [mm]A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 2 \\1 & -3 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimme nun die Eigenwerte- und vektoren sowie die
> geometrische/algebraische Vielfachheit der Eigenwerte.
>
> 1.) Für das charakteristische Polynom erhalte ich 0. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Denn es ist ja [mm]A^3 = 0[/mm], d.h. die Matrix ist nilpotent (was
> noch nicht Stoff im Kurs war) oder: Die Berechnung der
> Determinante ergibt nach einigen Schritten 0, d.h. ich
> erhalte den Eigenwert [mm]\lambda_1 = 0[/mm].
Charakteristisches Polynom einfach gleich 0 ??
Das kann doch gar nicht sein ...
Das müsste jedenfalls ein Polynom in [mm] \lambda [/mm] vom Grad 5
sein, und das ist nie einfach gleich 0 !
LG , Al-Chw.
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Hallo,
hab es jetzt noch einmal sorgfältig ausgerechnet und komme auf das charakteristische Polynom
$- [mm] \lambda^5 [/mm] $.
Stimmt das? Dann sind die Eigenwerte
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \lambda_4 [/mm] = [mm] \lambda_5 [/mm] = 0$ ?
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Hallo Kartoffelchen,
ja, das stimmt.
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Hallo!
Ich habe das mal in Maxima eingegeben. Die Matrix [mm] $\begin{pmatrix}1 & −2 & 0 & −1 & 2\cr 1 & −3 & −1 & 0 & 3\cr 0 & 2 & 1 & −1 & −3\cr 1 & 0 & 0 & −1 & −2\cr 0 & −1 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$ [/mm] hat tatsächlich das Char. Polynom [mm] \lambda^5 [/mm] , und demnach den 5-fachen Eigenwert 0.
Aber das bedeutet ja nicht, daß es keine Eigenvektoren gibt. Bildlich gesprochen: Eine Matrix, die alle Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] auf eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] projiziert, wird alle Vektoren in Projektionsrichtung auf [mm] \vec{0} [/mm] abbilden. (Noch bildlicher: Ein dünner Stab, der in Richtung Sonne zeigt, wirft keinen Schatten) Der zugehörige Eigenwert ist dann also 0.
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