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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Fr 08.04.2005
Autor: mando

Aufgabe 1
Seinen V ein nicht notwenidig endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und f,g : V->V K-linear. Man zeige:

(a) Die Eigenwerte  [mm] \not= [/mm] 0 von f [mm] \circ [/mm] g und g [mm] \circ [/mm] f stimmen überein

Sitze schon ziemlich lang an der Aufgabe und komm einfach auf nichts. Hab versucht mit injektivität drauf zu kommen oder einfach über  f [mm] \circ [/mm] g (v) =  [mm] \lambda [/mm] v , aber ich weiss nich wie ich von  f [mm] \circ [/mm] g auf g [mm] \circ [/mm] f kommen soll...

        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Fr 08.04.2005
Autor: banachella

Hallo!

So müsste es eigentlich klappen:
Sei $v$ EV von [mm] $f\circ [/mm] g$ zum EW [mm] $\lambda$. [/mm] Bezeichne $w:=g(v)$. Dann gilt:
[mm] $f(w)=f\circ g(v)=\lambda [/mm] v$. Und damit: [mm] $g\circ f(w)=g(\lambda v)=\lambda g(v)=\lambda [/mm] w$.

Gruß, banachella

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Eigenwerte: Rückfrage/Bemerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:08 Fr 08.04.2005
Autor: Stefan

Hallo Banachella!

So hatte ich es mir auch überlegt, aber man sollte noch erwähnen, dass $w [mm] \ne [/mm] 0$ gilt (und das ist wichtig, sonst wäre nicht klar, dass $w$ Eigenvektor ist).

Aber das ist einfach. Denn ansonsten wäre

$0=f(w) = [mm] \lambda [/mm] v$,

also: $v=0$ wegen [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$, Widerspruch.

Sorry, wenn dir das eh klar war ;-), aber vielleicht dem Fragesteller nicht.

Liebe Grüße
Stefan

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Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Fr 08.04.2005
Autor: mando

Danke! Man könnte sagen ich war leicht blind:-)

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Eigenwerte: Folgefrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Mi 13.04.2005
Autor: cheetah_83

jetzt sollen wir das ganze auch noch für spektralwerte machen, also vorraussetzungen wie bei der 1. aufgabe:
Seien V ein nicht notwendig endlich dimensionaler Verktorraum über dem Körper K und f,g: V  [mm] \to [/mm] V K-linear.

Aufgabe: Man zeige die Spektralwerte [mm] \not=0 [/mm] von f [mm] \circ [/mm] g und g [mm] \circ [/mm] f stimmen überein

als hinweis haben wir noch dazu
Zeige, dass, fals fg - a * [mm] id_V [/mm] invertierbar ist, gilt:
(gf-a [mm] id_V)^{-1}=a^{-1} [/mm] (g(fg - a [mm] id_V)^{-1} [/mm] f - [mm] id_V) [/mm]

mir ist schon klar warum ich das machen muss, hab aber keine ahnung wie ich das zeigen soll, wenn ich da versuche klammern aufzulösen, weiss ich zum einen nicht mal sicher, ob ich das überhaupt darf und zum andern komm ich auch zu keinem ergebniss

kann mir vielleicht jemand nen tipp, in form von ner rechenregel oder so geben, die ich dabei anwenden darf?

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Mi 13.04.2005
Autor: banachella

Hallo!

Um den Tipp nachzurechnen solltest du mal folgenden Ansatz versuchen:
Berechne
$(gf-a [mm] id_V)*\big( [/mm] (g(fg - a [mm] id_V)^{-1} [/mm] f - [mm] id_V)\big)$ [/mm] und [mm] $\big( [/mm] (g(fg - a [mm] id_V)^{-1} [/mm] f - [mm] id_V)\big)*(gf-a id_V)$. [/mm]
Wenn beides gleich $a [mm] id_V$ [/mm] ist, hast du den Tipp gezeigt.

Geht's damit?

Gruß, banachella

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Eigenwerte: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:23 Do 14.04.2005
Autor: cheetah_83

genau das hab ich ja schon probiert
mein problem ist, dass ich nicht weiss wie ich dieses [mm] \circ [/mm] als rechnezeichen zu verstehen hab.
also darf ich die klammern einfach ausmultiplizieren (also [mm] \circ \hat= \*)? [/mm] kommutativ ist es ja z.b. schon mal nicht, also darf ich nichts vertauschen

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Do 14.04.2005
Autor: banachella

Generell ist die Definition von [mm] $\circ$ [/mm] so:
[mm] $(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$. [/mm]
Im Endlichdimensionalen ist die Matrizenmultiplikation gerade so definiert, dass sie der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen entspricht.
Und das wird für lineare Operatoren so fortgesetzt.
Wenn du einen Lösungsansatz hast stell ihn ruhig hier rein, ich schau gerne mal drüber!

Gruß, banachella

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Eigenwerte: Erledigt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Do 14.04.2005
Autor: cheetah_83

danke für das Angebot, aber mittlerweile hab ich die Lösung

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