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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Norton |
| Aufgabe | Hallo ich hab bei dieser aufgabe irgendwie nicht die richtigen
Eigenwerte rausbekommen :
B=
4 0 -2
1 3 -2
1 2 -1
Ansatz:
(4- x)* [(3-x)*(-1-x)+4 -4*(3-x)]
innere Klammer ausmultipliziert:
(4- x)* [ -12 -8x [mm] +4x^2 [/mm] -12 +4x ]
= (4- x)* [ -24 -4x [mm] +4x^2 [/mm] ]
Erster eigenwert habe ich dann x1 = 4
Dann innere Klammer pq formel:
[mm] x^2 [/mm] - x -6 = 0
x1/2 = [mm] \bruch{1}{2}+- \bruch{5}{2}
[/mm]
x2 = 3 x3= -2
Nach meiner musterlösung sollen die eigenwerte 1 , 2 , 3 rauskommen.
Was habe ich falsch gemacht? |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo Norton,
> Hallo ich hab bei dieser aufgabe irgendwie nicht die
> richtigen
> Eigenwerte rausbekommen :
>
> B=
>
> 4 0 -2
> 1 3 -2
> 1 2 -1
>
> Ansatz:
>
> (4- x)* [(3-x)*(-1-x)+4 -4*(3-x)]
Schon hier beim Ansatz ist der Fehler passiert.
Die charakterstische Gleichung und somit die Eigenwerte [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] der Matrix B kann man mit folgendem Ansatz bestimmen:
$ [mm] det(B-\lambda [/mm] I)=0 $
bzw. etwas ausführlicher:
[mm] det(\pmat{4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1} - \lambda \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}) = \vmat{4 - \lambda & 0 & -2 \\ 1 & 3- \lambda & -2 \\ 1 & 2 & -1- \lambda} = 0 [/mm]
> Nach meiner musterlösung sollen die eigenwerte 1 , 2 , 3
> rauskommen.
Die Werte der Musterlösung stimmen.
Schöne Grüße
fz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Norton |
Was habe ich denn genau falsch gemacht?
Kannst du mir das etwas genauer erklären?
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Bei der Berechnung der Determinante ist wohl etwas schiefgelaufen.
Für die Determinante von 3x3-Matrizen verwende ich bei Rechnung von Hand am liebsten die ![[]](/images/popup.gif) Regel von Sarrus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Norton,
> Hallo ich hab bei dieser aufgabe irgendwie nicht die
> richtigen
> Eigenwerte rausbekommen :
>
> B=
>
> 4 0 -2
> 1 3 -2
> 1 2 -1
>
> Ansatz:
>
> (4- x)* [(3-x)*(-1-x)+4 -4*(3-x)]
ich vermute mal, dass du die Determinante nach der ersten Zeile entwickelt hast. In dem Fall ist der rote Term und die eckige Klammer falsch. Richtig müsste es heißen:
[mm](4-x)*[(3-x)*(-1-x)+4]-2*[2-(3-x)][/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Norton |
> Hallo Norton,
>
> > Hallo ich hab bei dieser aufgabe irgendwie nicht die
> > richtigen
> > Eigenwerte rausbekommen :
> >
> > B=
> >
> > 4 0 -2
> > 1 3 -2
> > 1 2 -1
> >
> > Ansatz:
> >
> > (4- x)* [(3-x)*(-1-x)+4 -4*(3-x)]
>
> ich vermute mal, dass du die Determinante nach der ersten
> Zeile entwickelt hast. In dem Fall ist der rote Term und
> die eckige Klammer falsch. Richtig müsste es heißen:
> [mm](4-x)*[(3-x)*(-1-x)+4]-2*[2-(3-x)][/mm]
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
Ich hab jetzt das stehen:
[mm] (4-x)*[(-3-3x+x+x^2+4] [/mm] +2-2x
Wie soll ich jetzt weiter Vorgehen? Soll ich die 2 Klammern ausmultiplizieren?
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Hi!
Nachdem es hier nicht der Fall ist, dass das Polynom bereits in der faktorisierten Form vorliegt, bietet es sich an den Term auszumulitplizieren und das entstehende Polynom zu faktorisieren.
Egal wie, du musst hier an die Nullstellen heran kommen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Norton |
Ich hab jetzt folgendes Polynom raus:
12 - 19x [mm] +8x^2- x^3 [/mm]
Soll ich hier jetzt polynomdivision anwenden oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Norton!
> Soll ich hier jetzt polynomdivision anwenden oder wie?
Das wäre ein guter Ansatz. Erst eine Nullstelle erraten /ausprobieren, und dann los mit der Polynomdivision.
Gruß
Loddar
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> Ich hab jetzt folgendes Polynom raus:
>
> 12 - 19x [mm]+8x^2- x^3[/mm]
>
> Soll ich hier jetzt polynomdivision anwenden oder wie?
Ich habe die Determinante nun nicht selbst nachgerechnet, beziehe mich aber auf die Antwort von Fulla.
Demnach ist deine Lösung hier falsch. Ausmultipliziert müsste herauskommen:
[mm] $-x^3+6x^2-11x+6$ [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Norton |
>
> > Ich hab jetzt folgendes Polynom raus:
> >
> > 12 - 19x [mm]+8x^2- x^3[/mm]
> >
> > Soll ich hier jetzt polynomdivision anwenden oder wie?
>
> Ich habe die Determinante nun nicht selbst nachgerechnet,
> beziehe mich aber auf die Antwort von Fulla.
>
> Demnach ist deine Lösung hier falsch. Ausmultipliziert
> müsste herauskommen:
>
> [mm]-x^3+6x^2-11x+6[/mm]
>
Oh man wa shabe ich jetzt falsch gemacht?
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Hallo Norton,
> >
> > > Ich hab jetzt folgendes Polynom raus:
> > >
> > > 12 - 19x [mm]+8x^2- x^3[/mm]
> > >
> > > Soll ich hier jetzt polynomdivision anwenden oder wie?
> >
> > Ich habe die Determinante nun nicht selbst nachgerechnet,
> > beziehe mich aber auf die Antwort von Fulla.
> >
> > Demnach ist deine Lösung hier falsch. Ausmultipliziert
> > müsste herauskommen:
> >
> > [mm]-x^3+6x^2-11x+6[/mm]
> >
> Oh man wa shabe ich jetzt falsch gemacht?
Schätzungsweise hast Du nicht richtig ausmultipliziert.
Poste dazu Deine Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Norton |
Meine rechenschritte:
( 4-x)*[ (-3 [mm] -3x+x+x^2 [/mm] +4)] +[(2-2x)]
= (4 - x)* [mm] [(3-4x+x^2)]
[/mm]
= 12 - 16x [mm] +4x^2 [/mm] -3x [mm] +4x^2 -x^3
[/mm]
Das habe ich dann zusammen gefasst und bin auf das gekommen:
12 -19x [mm] +8x^2 -x^3
[/mm]
was habe ich falsch gemacht?
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Hallo Norton,
> Meine rechenschritte:
>
> ( 4-x)*[ (-3 [mm]-3x+x+x^2[/mm] +4)] +[(2-2x)]
>
Aus dem 2. Summanden läßt sich 4-x nicht ausklammern.
> = (4 - x)* [mm][(3-4x+x^2)][/mm]
>
> = 12 - 16x [mm]+4x^2[/mm] -3x [mm]+4x^2 -x^3[/mm]
>
>
> Das habe ich dann zusammen gefasst und bin auf das
> gekommen:
>
> 12 -19x [mm]+8x^2 -x^3[/mm]
>
>
> was habe ich falsch gemacht?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Norton |
Ich verstehe leider nicht ganz genau was du meinst.
Kannst du mir das ein wenig genauer erklären?
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Du musst deine Eigene Klammersetzung beachten!
Du hast allgemein so etwas da stehen:
$a [mm] \cdot [/mm] [b+c]-[d+e]$
und rechnest jetzt:
[mm] $a\cdot [/mm] [b+c-d-e]$
verstehst du wo nun der Fehler liegt? Du musst zunächst das $(4-x)$ in den ersten Term multiplizieren und danach den zweiten hinteren Term mit in deine Betrachtung mit einbeziehen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Norton |
Gut leute danke . Jetzt habe ich die Eigenwerte 1, 2 und 3 raus gekriegt.
Matrix zum eigenwert 1 nach zeilenstufenform:
3 0 -2
0 6 -4
0 0 -2
x3= 0
x3 = t
6x2 -4t = 0
x2= [mm] \bruch{2}{3}t
[/mm]
Nun erste Zeile nach x1 umgeformt:
3x1 - 2t = 0
x1 = [mm] \bruch{2}{3}t
[/mm]
Vektor:
[mm] \bruch{2}{3} [/mm] t * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Richtig?
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> Matrix zum eigenwert 1 nach zeilenstufenform:
>
> 3 0 -2
> 0 6 -4
> 0 0 -2
Hallo,
das kann nicht stimmen, denn der Kern dieser Matrix besteht nur aus dem Nullvektor.
Die Matrix dürfte bei richtiger Rechnung nicht den Rang 3 haben.
>
> x3= 0
Genau.
>
> x3 = t
???
Wenn, wie Du völlig richtig festgestellt hast, [mm] x_3=0 [/mm] ist, dann kann [mm] x_3 [/mm] nicht gleichzeitig frei wählbar sein.
Ich denke mal, daß Dir beim Umformen in die ZSF ein Fehler unterlaufen ist.
Das mußt Du nochmal machen.
Okay, ich hab's gemacht. Man bekommt
3 0 -2
0 6 -4
0 0 0.
Du hast's wohl "nur" falsch hingeschrieben.
Es ist in der Tat die 3.Variable frei wählbar, mit
[mm] x_3=t [/mm] bekommt man
aus der 2.Zeile
> 6x2 -4t = 0
>
> x2= [mm]\bruch{2}{3}t[/mm]
>
>
>
> Nun erste Zeile nach x1 umgeformt:
>
> 3x1 - 2t = 0
> x1 = [mm]\bruch{2}{3}t[/mm]
Ja.
>
> Vektor:
>
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] t * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Richtig?
Nicht ganz.
Es ist jeder Vektor der Gestalt
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{2}{3}t\\ \bruch{2}{3}t\\t}=t*\vektor{\bruch{2}{3}\\ \bruch{2}{3}\\1} [/mm] mit [mm] t\not=0 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1, und der Vektor [mm] \vektor{\bruch{2}{3}\\ \bruch{2}{3}\\1} [/mm] ist eine Basis des zugehörigen Eigenraumes.
Eine Basis ist aber auch jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfache dieses Vektors, also etwa auch [mm] \vektor{1\\1\\\bruch{3}{2}} [/mm] oder [mm] \vektor{2\\2\\3}.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 02.09.2012 | | Autor: | Norton |
Hallo Angela kannst du mir erklären wie du auf:
2
2
3
kommst ? Das verstehe ich nicht so ganz.
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> Hallo Angela kannst du mir erklären wie du auf:
>
> 2
> 2
> 3
>
>
> kommst ? Das verstehe ich nicht so ganz.
Hallo,
das ist das Dreifache des zuerst angegebenen Vektors.
LG Angela
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