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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matix
A = [mm] \vmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 }
[/mm]
Läßt sich die Matrix A diagonalisieren? Wenn ja, so bestimmen Sie die Diagonalmatrix D und die Matrix S mit [mm] A=S*D*S^{-1} [/mm] |
Hallo, ich habe ziemliche Probleme diese Aufgabe zu lösen und ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir ein bisschen helfen könntet...
Also ich beginne mal mit der Bestimmung der Eigenwerte: Dabei komme ich dann auf folgende Gleichung:
[mm] (1-\lambda)^{3}-12*(1-\lambda)-16=0
[/mm]
ich substituiere dann [mm] (1-\lambda)=x [/mm] ->
[mm] x^{3}-12x-16=0 [/mm]
durch Probieren erhalte ich den ersten Wert: -2 nach der Polynomdivision erhalte ich noch die Werte -2 und 4.
Duch Rücksubstitution erhalte ich dann für [mm] \lambda [/mm] folgende Werte: -3;3;3
Welche die Eigenwerte darstellen.
Bevor ich nun zu den Eigenvektoren Weiterge würde ich gern wissen, ob ich soweit noch richtig unterwegs bin.
Danke schon mal für eure Unterstützung...
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Hallo marc518205,
> Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matix
> A = [mm]\vmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 }[/mm]
> Läßt
> sich die Matrix A diagonalisieren? Wenn ja, so bestimmen
> Sie die Diagonalmatrix D und die Matrix S mit [mm]A=S*D*S^{-1}[/mm]
> Hallo, ich habe ziemliche Probleme diese Aufgabe zu lösen
> und ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir ein bisschen
> helfen könntet...
>
> Also ich beginne mal mit der Bestimmung der Eigenwerte:
> Dabei komme ich dann auf folgende Gleichung:
>
> [mm](1-\lambda)^{3}-12*(1-\lambda)-16=0[/mm]
> ich substituiere dann [mm](1-\lambda)=x[/mm] ->
> [mm]x^{3}-12x-16=0[/mm]
>
> durch Probieren erhalte ich den ersten Wert: -2 nach der
> Polynomdivision erhalte ich noch die Werte -2 und 4.
> Duch Rücksubstitution erhalte ich dann für [mm]\lambda[/mm]
> folgende Werte: -3;3;3
> Welche die Eigenwerte darstellen.
>
> Bevor ich nun zu den Eigenvektoren Weiterge würde ich gern
> wissen, ob ich soweit noch richtig unterwegs bin.
> Danke schon mal für eure Unterstützung...
Ja, Du bist richtig unterwegs.
Gruss
MathePower
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ok, danke.
Also ich hab jetzt
A = [mm] \vmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 }
[/mm]
mit den Eigenwerten -3, 3, 3
nun will ich die Eigenvektoren berechnen, dazu setze die jeweiligen Eigenwerte ein. Für [mm] \lambda [/mm] = -3 erhalte ich:
[mm] \vmat{ 4 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \\ -2 & 2 & 4 }
[/mm]
und für [mm] \lambda [/mm] = 3 erhalte ich:
[mm] \vmat{ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -2 }
[/mm]
soweit sollte ich noch richtig sein oder? Falls ja stellt sich mir nun die Frage wie ich jetzt zu den Eigenvektoren komme. Ich hab ja nun jeweils drei Gleichungen die ich 0 setze und dann lösen soll... aber ich versteh nicht wie ich das hinbekomm...
Ausgehend von [mm] \lambda [/mm] = -3:
4x+2y-2z = 0
2x+4y+2z = 0
-2x+2y+4z = 0
und dann komm ich nicht mehr weiter
könnt ihr mir bitte sagen wie das jetzt geht?
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Wo genau ist denn jetzt dein Problem bei diesem einfachen LGS? Du kenns doch Gauß, oder? Die Berechnung hat doch jetzt gar nichts mehr mit Eigenwerten bzw. [mm] $\lambda$ [/mm] zu tun, sondern du musst lediglich einen Lösungsvektor finden, der (schonmal als Tipp) mindestens einen Freiheitsgrad besitzen muss, also min. eine Variable wird frei wählbar sein.
Also zieh einfach Gauß durch ;)
Edit: Ja deine EW stimmen
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ok, danke.
ich hab mir das jetz mit Gauß angesehen:
Für $ [mm] \lambda [/mm] $ = -3:
$ [mm] \vmat{ 4 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \\ -2 & 2 & 4 } [/mm] $
erhalte ich dann eine Nullzeile (bei mir die 3. Zeile) und zwei Gleichungen. Die 1. ist unveränderte also 4x+2y-2z=0 und bei der 2. komme ich auf 6y+6z=0.
D.h. ich setze z gleich [mm] \alpha [/mm] und y gleich [mm] -\alpha.
[/mm]
Nun löse ich die 1. Gleichung nach x auf und erhalte für x = [mm] \alpha
[/mm]
damit hab ich dann:
[mm] \vektor{\alpha \\ -\alpha \\ \alpha} [/mm] als Eigenvektor von [mm] \lambda [/mm] = -3 oder ist das falsch. kann ich [mm] \alpha [/mm] so stehen lassen oder soll ich für [mm] \alpha [/mm] = einer Zahl einsetzen, z.B. 1 oder so?
Bei $ [mm] \lambda [/mm] $ = 3:
$ [mm] \vmat{ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -2 } [/mm] $
bin ich mir nicht sicher, mit Gauß erhalte ich zwei Nullzeilen, d.h. mir bleibt die 1. Gleichung erhalten: -2x+2y-2z=0
jetzt kann ich die aber nur schwer lösen. ich würde es so machen:
ich setze x = [mm] \alpha [/mm] und y = [mm] \beta [/mm] dann folgt für z = [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] also:
[mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ \alpha - \beta}
[/mm]
geht das so in ordnung?
Zusammengefast würde ich dann:
[mm] \pmat{ \alpha & \alpha & \alpha \\ -\alpha & \beta & \beta \\ \alpha & \alpha -\beta & \alpha - \beta}
[/mm]
erhalten.
nochmals ein herzliches Dankeschön für die Hilfe.
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> ok, danke.
> ich hab mir das jetz mit Gauß angesehen:
> Für [mm]\lambda[/mm] = -3:
>
> [mm]\vmat{ 4 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \\ -2 & 2 & 4 }[/mm]
>
> erhalte ich dann eine Nullzeile (bei mir die 3. Zeile) und
> zwei Gleichungen. Die 1. ist unveränderte also 4x+2y-2z=0
> und bei der 2. komme ich auf 6y+6z=0.
> D.h. ich setze z gleich [mm]\alpha[/mm] und y gleich [mm]-\alpha.[/mm]
> Nun löse ich die 1. Gleichung nach x auf und erhalte für
> x = [mm]\alpha[/mm]
> damit hab ich dann:
>
> [mm]\vektor{\alpha \\ -\alpha \\ \alpha}[/mm]
Hallo,
Du weißt jetzt:
alle Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda=-3 [/mm] haben die Gestalt
[mm] \vec{v}=\vektor{\alpha \\ -\alpha \\ \alpha}=\alpha \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR\setminus \{0\},
[/mm]
und der (Eigen)Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] \lambda=-3.
[/mm]
> Bei [mm]\lambda[/mm] = 3:
>
> [mm]\vmat{ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -2 }[/mm]
>
> bin ich mir nicht sicher, mit Gauß erhalte ich zwei
> Nullzeilen, d.h. mir bleibt die 1. Gleichung erhalten:
> -2x+2y-2z=0
> jetzt kann ich die aber nur schwer lösen. ich würde es
> so machen:
> ich setze x = [mm]\alpha[/mm] und y = [mm]\beta[/mm] dann folgt für z =
> [mm]\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] also:
Nein,
für z folgt dann
[mm] z=-\alpha +\beta,
[/mm]
und man bekommt:
alle Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda=3 [/mm] haben die Gestalt
[mm] \vec{v}=\vektor{\alpha \\\beta\\ -\alpha+\beta}=\alpha \vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\beta\vektor{0\\1\\1} [/mm] mit [mm] \alpha,\beta \in \IR, (\alpha,\beta)\not=(0,0),
[/mm]
und die (Eigen)Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] \lambda=3.
[/mm]
LG Angela
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oh ja, danke ich hatte einen kleinen Zahlensturz....
nun zum nächsten Schritt: Läßt sich die Matrix A
A = $ [mm] \vmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 } [/mm] $
diagonalisieren? Wenn ja, so bestimmen
Sie die Diagonalmatrix D und die Matrix S mit $ [mm] A=S\cdot{}D\cdot{}S^{-1} [/mm] $
Ich muss gestehen ich habe das Diagonalisieren noch nie gemacht und alles was ich bis jetzt gelesen habe, habe ich nicht wirklich verstanden... aber ich versuchs mal:
Ich habe jetzt die EW: -3, 3, 3 damit habe ich eine algebraische Vielfachheit von 3 ebenso habe ich 3 Eigenräume also eine geometrische Vielfachheit von 3. Da algebraische- und geomtrische Vielfachheit gleich sind (=3) ist die Matrix diagonalisierbar:
D= [mm] \pmat{ -3 & 0 &0 \\ 0 &3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
S müsste dann die Transformationsmatrix sein. Was ja die Eigenvektoren sind:
S= [mm] \pmat{ 1 & 1 &0 \\-1 &0 &1 \\ 1 &-1 & 1 }
[/mm]
und für wenn ich S invertiere so erhalte ich:
[mm] S^{-1}= \pmat{ \bruch{1}{3} &-\bruch{1}{3} &\bruch{1}{3}
\\\bruch{2}{3} &\bruch{1}{3} &-\bruch{1}{3}
\\\bruch{1}{3} &\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} }
[/mm]
Hab ich das soweit richtig gemacht und ist die Aufgabe somit gelöst? Wie gesagt ich mach das heute zum ersten mal... also bin ich für jede Hilfe dankbar...
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Hallo marc518205,
> oh ja, danke ich hatte einen kleinen Zahlensturz....
> nun zum nächsten Schritt: Läßt sich die Matrix A
>
> A = [mm]\vmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 }[/mm]
>
> diagonalisieren? Wenn ja, so bestimmen
> Sie die Diagonalmatrix D und die Matrix S mit
> [mm]A=S\cdot{}D\cdot{}S^{-1}[/mm]
>
> Ich muss gestehen ich habe das Diagonalisieren noch nie
> gemacht und alles was ich bis jetzt gelesen habe, habe ich
> nicht wirklich verstanden... aber ich versuchs mal:
>
> Ich habe jetzt die EW: -3, 3, 3 damit habe ich eine
> algebraische Vielfachheit von 3 ebenso habe ich 3
> Eigenräume also eine geometrische Vielfachheit von 3. Da
> algebraische- und geomtrische Vielfachheit gleich sind (=3)
> ist die Matrix diagonalisierbar:
>
Das stimmt so nicht.
Es muss die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwertes
mit der geometrischen Vielfachheit desselben Eigenwertes übereinstimmen.
Hier:
Die Vielfachheit des Eigenwertes -3 im charakteristischen Polynom
muss der Dimension des Eigenraums zum Eigenwert -3 entsprechen.
Für den Eigenwert 3 analog.
> D= [mm]\pmat{ -3 & 0 &0 \\ 0 &3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
> S müsste dann die Transformationsmatrix sein. Was ja die
> Eigenvektoren sind:
>
> S= [mm]\pmat{ 1 & 1 &0 \\-1 &0 &1 \\ 1 &-1 & 1 }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für wenn ich S invertiere so erhalte ich:
>
> [mm]S^{-1}= \pmat{ \bruch{1}{3} &-\bruch{1}{3} &\bruch{1}{3}
\\\bruch{2}{3} &\bruch{1}{3} &-\bruch{1}{3}
\\\bruch{1}{3} &\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} }[/mm]
>
> Hab ich das soweit richtig gemacht und ist die Aufgabe
> somit gelöst? Wie gesagt ich mach das heute zum ersten
> mal... also bin ich für jede Hilfe dankbar...
>
Gruss
MathePower
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ok danke schon mal,
>
> Das stimmt so nicht.
>
> Es muss die algebraische Vielfachheit eines jeden
> Eigenwertes
> mit der geometrischen Vielfachheit desselben Eigenwertes
> übereinstimmen.
>
> Hier:
>
> Die Vielfachheit des Eigenwertes -3 im charakteristischen
> Polynom
> muss der Dimension des Eigenraums zum Eigenwert -3
> entsprechen.
>
> Für den Eigenwert 3 analog.
>
>
> > D= [mm]\pmat{ -3 & 0 &0 \\ 0 &3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> >
aber ich versteh noch nicht wo der Fehler liegt, Was muss ich hier genau anders machen? Danke schon mal...
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Hallo marc518205,
> ok danke schon mal,
>
> >
> > Das stimmt so nicht.
> >
> > Es muss die algebraische Vielfachheit eines jeden
> > Eigenwertes
> > mit der geometrischen Vielfachheit desselben
> Eigenwertes
> > übereinstimmen.
> >
> > Hier:
> >
> > Die Vielfachheit des Eigenwertes -3 im charakteristischen
> > Polynom
> > muss der Dimension des Eigenraums zum Eigenwert -3
> > entsprechen.
> >
> > Für den Eigenwert 3 analog.
> >
> >
> > > D= [mm]\pmat{ -3 & 0 &0 \\ 0 &3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> > >
> aber ich versteh noch nicht wo der Fehler liegt, Was muss
> ich hier genau anders machen? Danke schon mal...
>
Die Diagonalisierung ist so wie oben beschrieben zu untersuchen.
An der Diagonalmatrix ändert sich dabei nichts.
Gruss
MathePower
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> > ok danke schon mal,
> >
> > >
> > > Das stimmt so nicht.
> > >
> > > Es muss die algebraische Vielfachheit eines jeden
> > > Eigenwertes
> > > mit der geometrischen Vielfachheit desselben
> > Eigenwertes
> > > übereinstimmen.
> > >
> > > Hier:
> > >
> > > Die Vielfachheit des Eigenwertes -3 im charakteristischen
> > > Polynom
> > > muss der Dimension des Eigenraums zum Eigenwert -3
> > > entsprechen.
> > >
> > > Für den Eigenwert 3 analog.
> > >
> > >
> > > > D= [mm]\pmat{ -3 & 0 &0 \\ 0 &3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> > >
> >
> > aber ich versteh noch nicht wo der Fehler liegt, Was muss
> > ich hier genau anders machen? Danke schon mal...
> >
>
>
> Die Diagonalisierung ist so wie oben beschrieben zu
> untersuchen.
> An der Diagonalmatrix ändert sich dabei nichts.
>
>
> Gruss
> MathePower
ok, also die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes -3 im charakteristischen Polynom ist 1 und die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert -3 ist auch 1.
Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 3 im charakteristischen Polynom ist 2 und die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 3 ist auch 2.
Und darum ist die Matrix diagonalisierbar.
Hab ich es jetzt richtig verstanden?
Danke nochmal
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> ok, also die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes -3
> im charakteristischen Polynom ist 1 und die Dimension des
> Eigenraums zum Eigenwert -3 ist auch 1.
> Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 3 im
> charakteristischen Polynom ist 2 und die Dimension des
> Eigenraums zum Eigenwert 3 ist auch 2.
> Und darum ist die Matrix diagonalisierbar.
> Hab ich es jetzt richtig verstanden?
Hallo,
ja, Du hast es richtig verstanden.
LG Angela
> Danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 29.06.2014 | | Autor: | marc518205 |
ok, danke nochmal für die viele Hilfe, ohne diese hätte ich das nicht geschaft...
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