Eigenwerte, Charakt. Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \ge [/mm] 3 eine ganze Zahl. Existiert A [mm] \in µ_{n}(\IR), [/mm] so dass
1. A genau einen reelllen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] besitzt und A [mm] \not= \lambda I_{n}?
[/mm]
2. A genau einen Eigenwert in [mm] \IC [/mm] \ [mm] \IR [/mm] besitzt?
3. [mm] \mu_{A} [/mm] = [mm] X^2 [/mm] und [mm] x_{A}= X^n?
[/mm]
4. eine ganze Zahl [mm] k\ge [/mm] 1 mit [mm] A^k [/mm] = 0 existiert, und [mm] \mu_{A} \not= [/mm] 0?
5. [mm] \mu_{A}= X^2-2 [/mm] und [mm] x_{A}, [/mm] und [mm] X^n-2? [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Fragen über Fragen....Ich sende euch schonmal ein riesengroßes DANKE im Voraus!
Wie kann ic herausfinden, dass [mm] \lamba [/mm] nur genau einen Eigenwert besitzt? -->In [mm] \IR [/mm] als auch in [mm] \IC?
[/mm]
3-5 verstehe ich leider auch überhaupt gar nicht,....
Es grüßt,
die Monsterzicke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Fr 27.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Zu 1)
Kennst Du eine 2 x 2 Matrix aus reellen Einträgen, die gar keinen reelen Eigenwert besitzt?
Eine solche Matrix könnte Dir helfen, um für belibiges n ein geforderte Matrix anzugeben!
Zu 2)
Siehe 1). Auch hier sollte Du Dir für n = gerade eine geforderte Matrix basteln können. (Blockwiederholung!)
n = ungerade: Da eine reelles Poynom mit ungeraden Grad immer mindestens eine reelle Nullstelle besitzt, existiert eine geforderte Matrix in diesen Fällen nicht.
Zu 3)
Suche eine 2 x 2 Matrix mit $ [mm] \mu_{A} [/mm] = [mm] X^2 [/mm] = [mm] x_{A}$. [/mm]
Ich hoffe [mm] $\mu_{A}$ [/mm] bezeichnet das Minimalpolynom und [mm] $x_{A}$ [/mm] das charakteristische Polynom.
Verfahre sonst wie in unter 1)
Zu 4) Wird eigentlich schon durch 3 beantwortet
Zu 5) Ist nur eine Variante von 3).
Hinweis:
Wenn Du die Jordan-Normal-Form kennst (die Aufgabe lässt darauf schliessen), so überprüfen die ganzen Aufgaben, ob Du diese Normalform verstanden hast und anwenden kannst ...
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Ähm...ok: Also, zu 1: Ich kenne so eine Matrix nicht, kann mir da jetzt auch nichts drunter vorstellen, außer dass vielleicht Nullen auf der Diagonalen stehen????
Zu der Jordan-Normalform: Hatten wir in der letzten Vorlesung, habe ich aber überhaupt nicht verstanden...mit diesen ganzen Blöcke und so. Da verstehe ich auch gar nicht, wozu ich die eigentlich brauche??!
LG
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Existiert A [mm] \in M_{n}(\IR), [/mm] so dass
1. A genau einen reelllen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] besitzt und A [mm] \not= \lambda I_{n}? [/mm]
>Also, zu 1: Ich kenne so eine Matrix nicht, kann
> mir da jetzt auch nichts drunter vorstellen, außer dass
> vielleicht Nullen auf der Diagonalen stehen????
Hallo,
vielleicht hilft es Dir, die Sache anschaulich anzugehen.
Nimm den [mm] \IR^3.
[/mm]
Kennst Du eine lineare Abbildung, welche nur einen Eigenwert hat?
Denk mal an die Drehungen...
zu 2. Deine Matrix ist ja aus [mm] M_{n}(\IR), [/mm] also wird ihr charakteristisches Polynom aus dem Polynomring über [mm] \IR [/mm] sein.
Kann solch ein Polynom nur eine komplexe (und nicht reelle) Nullstelle haben?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 27.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Existiert A [mm]\in M_{n}(\IR),[/mm] so dass
> 1. A genau einen reelllen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] besitzt und A
> [mm]\not= \lambda I_{n}?[/mm]
>
> >Also, zu 1: Ich kenne so eine Matrix nicht, kann
> > mir da jetzt auch nichts drunter vorstellen, außer dass
> > vielleicht Nullen auf der Diagonalen stehen????
>
> Hallo,
>
> vielleicht hilft es Dir, die Sache anschaulich anzugehen.
> Nimm den [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Kennst Du eine lineare Abbildung, welche nur einen
> Eigenwert hat?
> Denk mal an die Drehungen...
Es geht noch einfacher: Man nimmt eine Dreiecksmatrix, die auch ausserhalb der Diagonalen Eintraege [mm] $\neq [/mm] 0$ hat, und waehlt die Diagonaleintraege passend (dazu sollte man wissen, wie die Diagonaleintraege mit den Eigenwerten zusammenhaengen; Monsterzicke, weisst du das?).
LG Felix
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An der Diagonalen kann man die Eigenwerte ja eigentlich dann ablesen, wenn man die Matrix auf Dreiecksform gebrachthat, wenn sie unterhalb der Diagonalen Nullen hat, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> An der Diagonalen kann man die Eigenwerte ja eigentlich
> dann ablesen, wenn man die Matrix auf Dreiecksform
> gebrachthat, wenn sie unterhalb der Diagonalen Nullen hat,
> oder?
(Du kannst sie allerdings nicht einfach mit Zeilenumformungen auf Dreiecksform bringen!)
Ja. Also wenn du eine solche Dreiecksmatrix hinschreibst, bekommst du eine Matrix mit gewuenschten Eigenwerten.
LG Felix
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Äh, was genau sind Drehungen??? Ich habe keine Ahnung um ehrlich zu sein
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> Äh, was genau sind Drehungen??? Ich habe keine Ahnung um
> ehrlich zu sein
Hallo,
auch wenn Du nicht aus dem Stand die passende Matrix aufschreiben kannst, wirst Du ja intuitiv wissen, was eine Drehung ist.
Nun nimm Dir den Anschauungsraum, dreh ihn um 45° um die z-Achse. Die z-Achse ist also die Drehachse.
Überlege Dir, daß diese Drehung einen Eigenwert hat. Überlege Dir, wie groß der Eigenwert ist.
Nun schau Dir an bzw. berechne auf welche Vektoren die drei Einheitvektoren unter der Drehung übergehen.
Dann hast Du Deine Matrix.
Gruß v. Angela
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Hey,
ich habe extreme Probleme damit, mir vorzustellen wie eine Drehung um die Z-Achse einer Matrix um 45° aussieht, geschweige denn, dass oder wie diese überhaupt einen Eigenwert besitzt??
Die Eigenwerte sind ja eigentlich nichts anderes als die Nullstellen (habe ich zumindest bis jetzt gedacht). WIe kann denn eine Drehung eine Nullstelle besitzen??
Und was ist die z Achse? Meine 3. Spalte der MAtrix?
Mir ist das irgendwie überhaupt nicht klar, sorry
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> ich habe extreme Probleme damit, mir vorzustellen wie eine
> Drehung um die Z-Achse einer Matrix um 45° aussieht,
Du sollst doch nicht die Matrix drehen!
Ich schrieb davon, daß Du den Raum drehen sollst.
Wenn Du um die z-Achse drehst, verändert sich diese nicht.
Du mußt Dir nun überlegen, was mit den beiden Einheitsvektoren, die die xy-Achse aufspannen, passiert.
Mal sie Dir auf, dreh sie um 45° und berechne ihre Koordinaten. Das ist kein Hexenwerk, und man braucht keine Matrix dazu.
Da es sich aber um eine lineare Abbildung handelt, kannst Du mit dem Ergebnis Deiner Bemühungen dann die Matrix einer Drehung um 45° um die z-Achse aufschreiben.
> geschweige denn, dass oder wie diese überhaupt einen
> Eigenwert besitzt??
> Die Eigenwerte sind ja eigentlich nichts anderes als die
> Nullstellen (habe ich zumindest bis jetzt gedacht).
So kann man die Eigenwerte berechnen.
Aber Du mußt Dir das mal anschaulich klar machen: die Eigenvektoren sind die Vektoren, die sich unter der fraglichen Abbildung nur um ein skalares Vielfaches ändern, also ihre Richtung beibehalten (bei pos. Eigenwert) oder in genau die entgegengesetzte Richtung übergehen. Diese Information und die Änderung der Länge liefert der Eigenwert.
WIe
> kann denn eine Drehung eine Nullstelle besitzen??
S.o.: Das charakteristische Polynom der Drehung hat eine Nullstelle, aber das brauchen wir im Moment gar nicht.
Gruß v. Angela
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Halte mich für dumm, aber ich verstehe es noch immer nicht.
Ich habe meinen Raum der reellen Zahlen. Was soll ich mir darunter vorstellen? Ein karthesisches Koordinatensystem oder wie??
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> Ich habe meinen Raum der reellen Zahlen.
Der allerdings ist eindimensional und hat keine z-Achse.
Was soll ich mir
> darunter vorstellen? Ein karthesisches Koordinatensystem
> oder wie??
Genau. Ich redete vom Anschauungsraum, damit meine ich den [mm] \IR^3.
[/mm]
Und darin stell Dir ein kartesisches Koordinatensystem vor. Welcher Einheitsvektor wandert wohin?
(Bevor Du Dich allerdings in Einzelheiten der Drehung verlierst, solltest Du vielleicht nochmal auf die Aufgabe gucken. Man vergißt im Eifer des Gefechtes manchmal, warum man sich für eine Sache interessiert. Wir machen das Ganze ja, weil Du eine Matrix mit einer bestimmten Eigenschaft finden möchtest. Meine Anregung ist nur eine Möglichkeit dazu - es gibt auch andere, z.T. bereits genannte. Wenn Du mit denen besser zurecht kommst, mußt Du Dich IM MOMENT nicht auf meine Drehung einschießen. Generell ist es natürlich schon wichtig, daß Du weißt, wie man von einer lin. Abbildung zu der entsprechenden Matrix kommt)
Gruß v. Angela
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Ich möchte das mit der Drehung aber verstehen.
Woher weiß ich denn jetzt, wohin die Eigenvektoren (Welche überhaupt?) wandern, wie viele das sind und wie die aussehen? Und warum nehme ich den [mm] \IR^3, [/mm] wenn ich im [mm] \IR [/mm] keine z- Achse habe, an der ich die Drehung ausführen soll?
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> Ich möchte das mit der Drehung aber verstehen.
> Woher weiß ich denn jetzt, wohin die Eigenvektoren (Welche
> überhaupt?) wandern, wie viele das sind und wie die
> aussehen?
Hallo,
Du mußt jetzt nicht viel Abstraktes denken. [mm] \IR^3 [/mm] ist dreidimensional, wie der Raum, in welchem wir leben. Nimm das Koordinatensystem, aufgespannt von den drei Einheitsvektoren in Gedanken mit in Dein Leben - oder besser nch leg Dir zwei Stifte im rechten Winkel auf den Tisch vor Dir, und darauf stelle in der Ecke, in welcher sie zusammenstoßen, einen weiteren Stift. Das sind die nun Einheitsvektoren, die Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Nun drehe um die z-Achse, um den stehenden Stift (Du mußt Dich manuell etwas geschickt anstellen jetzt). Was passiert? Der stehende Stift bleibt da, wo er ist. Die beiden anderen Stifte drehen sich wie zwei starr verbundene Uhrzeiger um den Eckpunkt (wo sie zusammenstoßen) über den Tisch.
Die z-Achse ist ein Eigenvektor, denn sie verändert ihre Richtung bei der Drehung nicht. Auch die Länge dieses Vektors verändert sich nicht, also Eigenwert zu diesem Vektor (stehenden Stift): =1.
Wenn Du Dir zuvor die Position von Stift 1 und 2 auf dem Stift markiert hast, kannst Du schauen, wo sie jetzt liegen. Das sind die Bilder dieser beiden Vektoren, Du kannst ihre Koordinaten ausrechnen, wenn Du den Drehwinkel kennst. Nimmst Du 45°, da ist's besonders einfach.
Gruß v. Angela
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Ja, ok...verstehe. Wie genau berechne ich jetzt die anderen Eigenwerte?
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> Ja, ok...verstehe. Wie genau berechne ich jetzt die anderen
> Eigenwerte?
Es gibt keine anderen!
Denn sämtliche Vektoren, die nicht parallel zur z-Achse, unserer Drehachse, sind, verändern bei der Drehung ihre Richtung.
Ausgangspunkt der Überlegung war ja, eine Matrix zu finden, die nur einen reellen Eigenwert hat und keine Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
Nun schreiben wir mal auf, wie die Drehmatrix (Drehung um [mm] \alpha [/mm] um die z-Achse) bzgl der kanonischen Einheitsbasis aussieht:
[mm] \sigma(\vektor{0 \\ 0\\1})=\vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
[mm] \sigma(\vektor{1 \\ 0\\0})=\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha\\0}
[/mm]
[mm] \sigma(\vektor{0 \\ 1\\0})=\vektor{-sin\alpha \\ cos\alpha\\0},
[/mm]
also [mm] A_{\sigma}=\pmat{ cos\alpha & sin\alpha& 0\\ -sin\alpha & cos\alpha&0\\ 0 & 0&1 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ich weiss ja leider nicht, wie weit Du in Analysis bist. Deshalb eine kurze Zusatzinformation:
Polynome über den komplexen Zahlen zerfallen stets in Linearfaktoren.
Damit zerfallen auch reelle Polynome über C, hierbei gilt noch:
Ist z eine "echtkomplexe" Nullstelle eine reelen Polynoms, so ist auch die zu z konjugierte Zahl eine Nullstelle. (Wenn Du willst, kannst Du das mal beweisen, ist recht einfach. Trick: "Die Konjugation eingeschränkt auf die reellen Zahlen ist die identische Abbildung!")
In den reellen Zahlen gilt:
Jedes reelle Polynom zerfällt in quadratische und/oder Linearfaktoren.
(Sehr salopp formuliert, besser: Über R gibt es anders als über C irreduzible Polynome vom Grad 2.)
Das wohl einfachste Beipspiel für ein quadratisches reelles Polynom, welches über R nicht in Linearfaktoren zerfällt, ist:
[mm] x^2+1
[/mm]
Nimm nun z.B. die Matrix [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}$. [/mm] Sie besitzt nur reelle Einträge und hat [mm] x^2+1 [/mm] als char. Polynom.
Über R ist die Matrix nicht diagonbalisierbar, da sie insbesondere keinen reellen Eigenwert besitzt. (Über C ist die Matrix übrigens diagonalisierbar. Ist Dir das klar?)
Zur Jordan-Normal-Form(JNF):
In vielen Herleitungen zur JNF kommt folgendes Objekt vor:
[mm] $Ker(A-\lambda E)^s$, [/mm] dabei ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert der Matrix A.
Wichtig wäre zu verstehen, wozu man sich diese Unterräume anschaut. Warum ist das überhaupt interessant? Wieso ist man an der Dimension interessiert usw. ...
(Stichwort: A invariante Unterräume. Weisst Du was das ist?)
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irreduzibel, invariant, konjugiert...alles das, was ich schon nie in der Vorlesung verstanden habe, weil ich mir rein gar nichts darunter vorstllen kann....HILFE!
in den komplexen Zahlen, müsste das Polynom doch in (x+1)*(x-1) zerfallen, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 29.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
[mm] $x^2+1$ [/mm] besitzt sicherlich nicht die Faktorisierung [mm] $(x-1)(x+1)=x^2-1$.
[/mm]
Bermekungen:
1) Eine ums 1 verschobene Normalparabel schneidet die x-Achse nicht und hat somit in R keine Nullstellen, d.h. [mm] $x^2+1$ [/mm] zerfällt nicht in Linearfaktoren und ist damit über R irreduzibel (besitzt nur die trivialen Teiler, das sind hier alle reellen Zahlen ausser der Null).
2) Das Quadrat einer rellen Zahl (ungleich der Null) ist stets echt positiv. Somit gilt für alle reelen x: [mm] $x^2+1\ge [/mm] 1$.
Über den komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, damit auch das Polynom [mm] $x^2+1=(x-i)(x+i)$, [/mm] Nullstellen: [mm] $x=\pm [/mm] i$.
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