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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:07 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Es seien A und B [mm] n\times [/mm] n Matrizen. Zeigen Sie, dass A [mm] \circ [/mm] B und B [mm] \circ [/mm] A dieselben Eigenwerte besitzen.
Hinweis: Unterscheiden Sie ob 0 der Eigenwert von A [mm] \circ [/mm] B ist oder nicht. |
Hallo
Ich habe obere Aufgabe bekommen und finde leider keinen Ansatz, bisher habe ich folgendes probiert:
A [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \lambda \vec{v}
[/mm]
B [mm] \vec{v}= \mu \vec{v}
[/mm]
A [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \lambda \vec{v} [/mm] / B [mm] \circ
[/mm]
B [mm] \circ [/mm] A [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] B [mm] \circ \vec{v} [/mm] = [mm] \lambda \mu \vec{v}
[/mm]
B [mm] \vec{v}= \mu \vec{v} [/mm] / [mm] \circ [/mm] A
A [mm] \circ [/mm] B [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \mu [/mm] A [mm] \circ \vec{v} [/mm] = [mm] \lambda \mu \vec{v}
[/mm]
Dann ist mir eingefallen dass ich a.) nicht die richtige Definition aufgeschrieben habe und b.) Eigenvektore von A und B können unterschieldich sein.
Jetzt habe ich das als Definition genommen:
A [mm] \circ [/mm] B [mm] \vec{v}= \lambda \vec{v}
[/mm]
B [mm] \circ [/mm] A [mm] \vec{u}= \lambda \vec{u}
[/mm]
Das Problem ist, dass ich jetzt keinen Ansatz finde. Ich würde mich riesig über Hilfe Freuen.
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Hallo Arkathor,
sei [mm] $\lambda\neq [/mm] 0$, x ein Eigenvektor von AB.
Multipliziere von links B an $ABx= [mm] \lambda [/mm] x$.
Was zeigt das?
Für [mm] $\lambda [/mm] =0$ würde ich über den Rang gehen.
(warum funktioniert in diesem Fall der obige beweis nicht?)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Arkathor |
BAB [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda [/mm] B [mm] \vec{v}
[/mm]
Jetzt mit [mm] B^{-1} [/mm] multiplizieren von rechts damit es sich rauskürzt?
Dann kommt nämlich BA = [mm] \lambda \vec{v}
[/mm]
Bei 0 funktioniert nicht, weil es würde immer folgen dass AB= [mm] \vec{o} [/mm] ?
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> BAB [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda[/mm] B [mm]\vec{v}[/mm]
> Jetzt mit [mm]B^{-1}[/mm] multiplizieren von rechts damit es sich
> rauskürzt?
>
> Dann kommt nämlich BA = [mm]\lambda \vec{v}[/mm]
Nein das bringt nichts, nein da kürzt sich nichts. Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
Klammere so:
[mm] $(BA)(Bx)=\lambda [/mm] Bx $
> Bei 0 funktioniert nicht, weil es würde immer folgen dass
> AB= [mm]\vec{o}[/mm] ?
Wo ist denn hier (wie oben) das x hin verschwunden?
P.S. Bist du Physiker oder weshalb verwendest du Vektorpfeile?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:11 Di 18.06.2013 | | Autor: | Arkathor |
> > BAB [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda[/mm] B [mm]\vec{v}[/mm]
> > Jetzt mit [mm]B^{-1}[/mm] multiplizieren von rechts damit es
> sich
> > rauskürzt?
> >
> > Dann kommt nämlich BA = [mm]\lambda \vec{v}[/mm]
> Nein das bringt
> nichts, nein da kürzt sich nichts. Matrizenmultiplikation
> ist nicht kommutativ.
> Klammere so:
> [mm](BA)(Bx)=\lambda Bx[/mm]
Wenn ich jetzt richtig denke dann soll daraus Folgen, dass die Matrix BA immer für Verlambdafachund des Wertes von Bx sorgt. Wenn man, dass aber von anderen "Seite" macht dann kommt raus [mm] (AB)(Ax)=\lambda [/mm] Ax und [mm] A\not=B
[/mm]
> > Bei 0 funktioniert nicht, weil es
> würde immer folgen dass
> > AB= [mm]\vec{o}[/mm] ?
> Wo ist denn hier (wie oben) das x hin verschwunden?
[mm] AB\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
>
> P.S. Bist du Physiker oder weshalb verwendest du
> Vektorpfeile?
Unser Prof macht es immer mit Pfeilen. Es liegt wahrscheinlich daran, dass er Didaktiker ist und alles klar machen will. Ich bin Informatiker.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > BAB [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda[/mm] B [mm]\vec{v}[/mm]
> > > Jetzt mit [mm]B^{-1}[/mm] multiplizieren von rechts damit es
> > sich
> > > rauskürzt?
> > >
> > > Dann kommt nämlich BA = [mm]\lambda \vec{v}[/mm]
> > Nein das
> bringt
> > nichts, nein da kürzt sich nichts. Matrizenmultiplikation
> > ist nicht kommutativ.
> > Klammere so:
> > [mm](BA)(Bx)=\lambda Bx[/mm]
> Wenn ich jetzt richtig denke dann
> soll daraus Folgen, dass die Matrix BA immer für
> Verlambdafachund des Wertes von Bx sorgt.
Aua !
Jetzt machen wir das mal ganz präzise:
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von AB und [mm] \lambda \ne [/mm] 0. Dann gibt es ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit
(*) [mm] $ABx=\lambda [/mm] x$
Es folgt [mm] $BABx=\lambda [/mm] B x$ , oder ganz deutlich, mit z:=Bx, geschrieben:
[mm] $BAz=\lambda [/mm] z$.
Wenn Du nun noch garantieren kannst, dass z [mm] \ne [/mm] 0 ist, haben wir:
[mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von BA.
Ich kann garantieren, dass z [mm] \ne [/mm] 0 ist. Du auch ? Bedenke dabei, dass [mm] \lambda \ne [/mm] 0 ist.
> Wenn man, dass
> aber von anderen "Seite" macht dann kommt raus
> [mm](AB)(Ax)=\lambda[/mm] Ax und [mm]A\not=B[/mm]
Haä ????
>
> > > Bei 0 funktioniert nicht, weil es
> > würde immer folgen dass
> > > AB= [mm]\vec{o}[/mm] ?
> > Wo ist denn hier (wie oben) das x hin verschwunden?
> [mm]AB\vec{v}=\vec{0}[/mm]
>
> >
> > P.S. Bist du Physiker oder weshalb verwendest du
> > Vektorpfeile?
> Unser Prof macht es immer mit Pfeilen. Es liegt
> wahrscheinlich daran, dass er Didaktiker ist
Ach Du dickes Ei !
> und alles klar
> machen will.
Ich dachte immer, dass Didaktiker gerade das nicht tun ?
> Ich bin Informatiker.
Glückwunsch !
FRED
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