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| Aufgabe | Sei $V$ der Vektorraum [mm] $M_{n \times n}(IR)$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] 1$. Sei $T$ die Abbildung, die zu einer Matrix $M [mm] \in M_{n \times n}(\IR)$ [/mm] deren transponierte Matrix hinzufügt, also $T(M) = [mm] M^t$.
[/mm]
i) Zeige, dass $T$ eine lineare Abbildung von $V$ zu $V$ ist.
ii) Zeige, dass 1 und -1 die einzigen Eigenwerte von $T$ sind.
iii) Beschreibe die Eigenräume [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_{-1}$ [/mm] von $T$.
iv) Bestimme die Dimensionen von [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_{-1}$, [/mm] wenn $n=3$. Ist $T$ in diesem Fall diagonalisierbar? |
Hallo,
ich fange einfach mal an.
Teilaufgabe i)
Um zu zeigen, dass $T:V [mm] \mapsto [/mm] V$, sagen wir, dass die Transponierte einer $n [mm] \times [/mm] m$ Matrix eine $m [mm] \times [/mm] n$ Matrix ist. Wenn also $m = n$, gilt, dass sowohl die Ausgangs- als auch die transponierte Matrix $n [mm] \times [/mm] n$ Matrizen sind. $T$ bildet also eine Matrix aus [mm] $M_{n \times n}(\IR)$ [/mm] in diesen Raum ab.
Um zu zeigen, dass die Abbildung linear ist, müssen wir nur folgende Rechnung durchführen. Seien $M, N [mm] \in [/mm] V$ und $c [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gilt:
$ T(cM+N) = [mm] (cM+N)^t [/mm] = [mm] (cM)^t [/mm] + [mm] N^t [/mm] = [mm] cM^t [/mm] + [mm] N^t [/mm] = c*T(M)+T(N)$
$T$ ist also eine lineare Abbildung.
Teilaufgabe ii)
Bei dieser Aufgabe muss ich zugeben, dass bei dem Beweis ein Schritt ausgeführt wird, den ich nicht nachvollziehen kann. Dieser Beweise wurde in der Vorlesung auf den letzten Drücker geführt, d.h. vielleicht kann mir jemand erklären, wie der entsprechende Schritt zustande kommt.
Wir suchen eine Zahl [mm] $\lambda$, [/mm] wofür gilt:
[mm] $M^t=\lambda [/mm] M$
Wir können also von [mm] $M^t$ [/mm] ausgehen und diese Matrix noch einmal transponieren. Dadurch erhalten wir:
$M = [mm] (M^t)^t [/mm] = [mm] (\lambda M)^t [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] M$
Es muss also für den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] gelten, dass [mm] $\lambda^2 [/mm] = 1$, woraus folgt, dass [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$, weil $M [mm] \not= [/mm] 0$. Der Schritt, den ich nicht verstehe, ist, warum [mm] $(\lambda M)^t [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] M$ ist.
Teilaufgabe iii)
Die Eigenräume zu $1$ und $-1$ sind:
[mm] $E_1 [/mm] = [mm] \{\quad x \in M_{n \times n}(\IR) \quad |\quad Mx = x \quad \} [/mm] = [mm] \{ \quad x \in M_{n \times n}(\IR)\quad | \quad x^t = x \quad \}$ [/mm]
[mm] $E_{-1} [/mm] = [mm] \{\quad x \in M_{n \times n}(\IR) \quad | \quad Mx = -x \quad \} [/mm] = [mm] \{\quad x \in M_{n \times n}(\IR)\quad |\quad x^t = -x \quad \}$
[/mm]
Teilaufgabe iv)
Zunächst schreibe ich die Matrizen $X$ und [mm] $X^t$ [/mm] auf, um es einfacher zu machen:
$X = [mm] \pmat{a & b & c\\d&e&f\\g&h&i}$, $X^t [/mm] = [mm] \pmat{a&d&g\\b&e&h\\c&f&i}$
[/mm]
Dann kann man [mm] $E_1$ [/mm] schreiben als
[mm] $E_1 [/mm] = [mm] \{ \pmat{a & b & c\\d&e&f\\g&h&i}|a=a, b=d, c=g, e=e, f=h, g=i\} [/mm] = [mm] \{ \pmat{a & b & c\\b&e&f\\c&f&i}| a, b,c,e,f,i \in \IR \}$
[/mm]
Das kann man schreiben als:
[mm] $E_1 [/mm] = [mm] \{a\pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + b\pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&0}+c\pmat{0&0&1\\0&0&0\\1&0&0}+e\pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}+f\pmat{0&0&0\\0&0&1\\0&1&0}+i\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1} | a,b,c,e,f,i \in \IR\}
[/mm]
[mm] $dim(E_1)$ [/mm] ist also 6.
Für [mm] $E_{-1}$ [/mm] gilt:
[mm] $E_{-1} [/mm] = [mm] \{ \pmat{a & b & c\\d&e&f\\g&h&i}|a=-a, b=-d, c=-g, e=-e, f=-h, g=-i\} [/mm] = [mm] \{ \pmat{0 & b & c\\-b&0&f\\-c&-f&0}| b,c,f \in \IR \}$
[/mm]
Hieraus folgt:
[mm] $E_{-1} [/mm] = [mm] \{b\pmat{0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0}+c\pmat{0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0}+f\pmat{0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0} | b,c,f \in \IR \}.
[/mm]
[mm] $dim(E_{-1})$ [/mm] ist also 3.
An den beiden Dimensionen irritiert mich, dass ich ja bei einer $3 [mm] \times [/mm] 3$ Matrix max. drei Eigenwerte haben kann und darum die Dimension von [mm] $E_1$ [/mm] schon mal nicht 6 sein kann. Oder seh ich das falsch? Vielleicht kann mir hierbei jemand helfen.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Do 12.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V[/mm] der Vektorraum [mm]M_{n \times n}(IR)[/mm] für [mm]n \ge 1[/mm]. Sei [mm]T[/mm]
> die Abbildung, die zu einer Matrix [mm]M \in M_{n \times n}(\IR)[/mm]
> deren transponierte Matrix hinzufügt, also [mm]T(M) = M^t[/mm].
>
> i) Zeige, dass [mm]T[/mm] eine lineare Abbildung von [mm]V[/mm] zu [mm]V[/mm] ist.
> ii) Zeige, dass 1 und -1 die einzigen Eigenwerte von [mm]T[/mm]
> sind.
> iii) Beschreibe die Eigenräume [mm]E_1[/mm] und [mm]E_{-1}[/mm] von [mm]T[/mm].
> iv) Bestimme die Dimensionen von [mm]E_1[/mm] und [mm]E_{-1}[/mm], wenn [mm]n=3[/mm].
> Ist [mm]T[/mm] in diesem Fall diagonalisierbar?
> Hallo,
>
> ich fange einfach mal an.
>
> Teilaufgabe i)
> Um zu zeigen, dass [mm]T:V \mapsto V[/mm], sagen wir, dass die
> Transponierte einer [mm]n \times m[/mm] Matrix eine [mm]m \times n[/mm]
> Matrix ist. Wenn also [mm]m = n[/mm], gilt, dass sowohl die
> Ausgangs- als auch die transponierte Matrix [mm]n \times n[/mm]
> Matrizen sind. [mm]T[/mm] bildet also eine Matrix aus [mm]M_{n \times n}(\IR)[/mm]
> in diesen Raum ab.
> Um zu zeigen, dass die Abbildung linear ist, müssen wir
> nur folgende Rechnung durchführen. Seien [mm]M, N \in V[/mm] und [mm]c \in \IR[/mm].
> Dann gilt:
>
> [mm]T(cM+N) = (cM+N)^t = (cM)^t + N^t = cM^t + N^t = c*T(M)+T(N)[/mm]
>
> [mm]T[/mm] ist also eine lineare Abbildung.
>
> Teilaufgabe ii)
> Bei dieser Aufgabe muss ich zugeben, dass bei dem Beweis
> ein Schritt ausgeführt wird, den ich nicht nachvollziehen
> kann. Dieser Beweise wurde in der Vorlesung auf den letzten
> Drücker geführt, d.h. vielleicht kann mir jemand
> erklären, wie der entsprechende Schritt zustande kommt.
> Wir suchen eine Zahl [mm]\lambda[/mm], wofür gilt:
>
> [mm]M^t=\lambda M[/mm]
>
> Wir können also von [mm]M^t[/mm] ausgehen und diese Matrix noch
> einmal transponieren. Dadurch erhalten wir:
>
> [mm]M = (M^t)^t = (\lambda M)^t = \lambda^2 M[/mm]
>
> Es muss also für den Eigenwert [mm]\lambda[/mm] gelten, dass
> [mm]\lambda^2 = 1[/mm], woraus folgt, dass [mm]\lambda = \pm 1[/mm], weil [mm]M \not= 0[/mm].
> Der Schritt, den ich nicht verstehe, ist, warum [mm](\lambda M)^t = \lambda^2 M[/mm]
Wir haben
(*) [mm] $M^t= \lambda [/mm] M$
Dann folgt:
[mm] $M=(M^t)^t=( \lambda M)^t= \lambda M^t= \lambda^2 [/mm] M$
Das letzte "=" gilt wegen (*)
> ist.
>
> Teilaufgabe iii)
> Die Eigenräume zu [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm] sind:
>
> [mm]E_1 = \{\quad x \in M_{n \times n}(\IR) \quad |\quad Mx = x \quad \} = \{ \quad x \in M_{n \times n}(\IR)\quad | \quad x^t = x \quad \}[/mm]
> [mm]E_{-1} = \{\quad x \in M_{n \times n}(\IR) \quad | \quad Mx = -x \quad \} = \{\quad x \in M_{n \times n}(\IR)\quad |\quad x^t = -x \quad \}[/mm]
>
> Teilaufgabe iv)
> Zunächst schreibe ich die Matrizen [mm]X[/mm] und [mm]X^t[/mm] auf, um es
> einfacher zu machen:
>
> [mm]X = \pmat{a & b & c\\d&e&f\\g&h&i}[/mm], [mm]X^t = \pmat{a&d&g\\b&e&h\\c&f&i}[/mm]
>
> Dann kann man [mm]E_1[/mm] schreiben als
>
> [mm]E_1 = \{ \pmat{a & b & c\\d&e&f\\g&h&i}|a=a, b=d, c=g, e=e, f=h, g=i\} = \{ \pmat{a & b & c\\b&e&f\\c&f&i}| a, b,c,e,f,i \in \IR \}[/mm]
>
> Das kann man schreiben als:
>
> [mm]$E_1[/mm] = [mm]\{a\pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + b\pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&0}+c\pmat{0&0&1\\0&0&0\\1&0&0}+e\pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}+f\pmat{0&0&0\\0&0&1\\0&1&0}+i\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1} | a,b,c,e,f,i \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]dim(E_1)[/mm] ist also 6.
>
> Für [mm]E_{-1}[/mm] gilt:
>
> [mm]E_{-1} = \{ \pmat{a & b & c\\d&e&f\\g&h&i}|a=-a, b=-d, c=-g, e=-e, f=-h, g=-i\} = \{ \pmat{0 & b & c\\-b&0&f\\-c&-f&0}| b,c,f \in \IR \}[/mm]
>
> Hieraus folgt:
>
> [mm]$E_{-1}[/mm] =
> [mm]\{b\pmat{0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0}+c\pmat{0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0}+f\pmat{0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0} | b,c,f \in \IR \}.[/mm]
>
> [mm]dim(E_{-1})[/mm] ist also 3.
>
> An den beiden Dimensionen irritiert mich, dass ich ja bei
> einer [mm]3 \times 3[/mm] Matrix max. drei Eigenwerte haben kann und
> darum die Dimension von [mm]E_1[/mm] schon mal nicht 6 sein kann.
Wieso nicht ? [mm] E_1 [/mm] ist der Eigenraum der Abbildung T zum Eigenwert 1.
FRED
> Oder seh ich das falsch? Vielleicht kann mir hierbei jemand
> helfen.
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
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>
> Wir haben
>
> (*) [mm]M^t= \lambda M[/mm]
>
>
> Dann folgt:
>
> [mm]M=(M^t)^t=( \lambda M)^t= \lambda M^t= \lambda^2 M[/mm]
>
> Das letzte "=" gilt wegen (*)
>
>
>
> > ist.
Super, danke :)
> >
> > An den beiden Dimensionen irritiert mich, dass ich ja bei
> > einer [mm]3 \times 3[/mm] Matrix max. drei Eigenwerte haben kann und
> > darum die Dimension von [mm]E_1[/mm] schon mal nicht 6 sein kann.
>
> Wieso nicht ? [mm]E_1[/mm] ist der Eigenraum der Abbildung T zum
> Eigenwert 1.
>
> FRED
>
Ok, ich versuch einfach mal weiterzumachen. Wenn ich die Abbildung $T$ als Matrix schreiben will, nehme ich die Elemente der Standardbasis von [mm] $M_{3 \times 3}(\IR)$, [/mm] die ich $B$ nenne, wende $T$ auf diese an und schreibe die Ergebnisse als Linearkombination derselben Elemente. Ich erhalte dann die Matrix:
[mm] $[T]_B [/mm] = [mm] \pmat{1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1}$
[/mm]
Diese Matrix hat das charakteristische Polynom
[mm] $p_{[T]_B}(\lambda) [/mm] = [mm] -\lambda^9+3\lambda^8-8\lambda^6+6\lambda^5+6\lambda^4-8\lambda^3+3\lambda-1 [/mm] = [mm] -((x-1)^6(x+1)^3)$
[/mm]
und die Eigenwerte [mm] $\lambda [/mm] = 1$ und [mm] $\lambda [/mm] = -1$ haben die algebraischen Vielfachheiten 6 und 3. Diese Werte ergeben sich auch, wenn man für die beiden Eigenwerte [mm] $9-rang([T]_B [/mm] - [mm] \lambda [/mm] Id)$ berechnet, wobei $9 = [mm] dim(M_{3 \times 3}(\IR))$, [/mm] nämlich:
[mm] $rang([T]_B [/mm] - 1*Id) = 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 9-3 = 6$
[mm] $rang([T]_B [/mm] + 1*Id) = 6 [mm] \Rightarrow [/mm] 9-6 = 3$
Da das charakteristische Polynom auch noch "splitst", ist die Abbildung $T$ dialgonalisierbar.
Ist das so richtig?
Liebe Grüße.
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> Ok, ich versuch einfach mal weiterzumachen. Wenn ich die
> Abbildung [mm]T[/mm] als Matrix schreiben will, nehme ich die
> Elemente der Standardbasis von [mm]M_{3 \times 3}(\IR)[/mm], die ich
> [mm]B[/mm] nenne, wende [mm]T[/mm] auf diese an und schreibe die Ergebnisse
> als Linearkombination derselben Elemente. Ich erhalte dann
> die Matrix:
>
> [mm][T]_B = \pmat{1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1}[/mm]
>
> Diese Matrix hat das charakteristische Polynom
>
> [mm]p_{[T]_B}(\lambda) = -\lambda^9+3\lambda^8-8\lambda^6+6\lambda^5+6\lambda^4-8\lambda^3+3\lambda-1 = -((x-1)^6(x+1)^3)[/mm]
>
> und die Eigenwerte [mm]\lambda = 1[/mm] und [mm]\lambda = -1[/mm] haben die
> algebraischen Vielfachheiten 6 und 3.
Hallo,
ja.
> Diese Werte ergeben
> sich auch, wenn man für die beiden Eigenwerte
dim [mm] Eig(\lambda)= [/mm] dim Kern [mm] ([T]_B-\lambda [/mm] Id)=
> [mm]9-rang([T]_B - \lambda Id)[/mm]
> berechnet, wobei [mm]9 = dim(M_{3 \times 3}(\IR))[/mm], nämlich:
>
> [mm]rang([T]_B - 1*Id) = 3 \Rightarrow \red{dim Eig(\lambda)dim Eig(1)}=9-3 = 6[/mm]
> [mm]rang([T]_B + 1*Id) = 6 \Rightarrow \red{dim Eig(\lambda)dim Eig(-1)}=9-6 = 3[/mm]
>
> Da das charakteristische Polynom auch noch "splitst", ist
es zerfällt.
> die Abbildung [mm]T[/mm] dialgonalisierbar.
Ja.
LG Angela
>
> Ist das so richtig?
>
> Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mo 23.02.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Super, danke sehr :)
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