Ein Quadrat unterteilen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Ferma |
Ein Quadrat mit Seite 1 soll in 5 VERSCHIEDENE gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Der Rechte Winkel ist nicht erlaubt. Mein Ansatz: Habe allerhand versucht, doch ohne Erfolg. Mir bleibt jetzt die Hoffnung, dass jemand dieses Problem kennt. falls es mit 5 nicht funktioniert, wie geht es mit 6?
Viele Grüße, Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 14.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Ein Quadrat mit Seite 1 soll in 5 VERSCHIEDENE
> gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Der Rechte
> Winkel ist nicht erlaubt. Mein Ansatz: Habe allerhand
> versucht, doch ohne Erfolg. Mir bleibt jetzt die Hoffnung,
> dass jemand dieses Problem kennt. falls es mit 5 nicht
> funktioniert, wie geht es mit 6?
> Viele Grüße, Ferma
Hallo Ferma,
ich nehme an, dass du so weit gekommen bist:
Eine Zerlegung in 4 gleichschenklige und nicht rechtwinklige Dreiecke funktioniert.
Eines dieser 4 Dreiecke ist stumpfwinklig.
Wenn man jetzt das gleichschenklig-stumpfwinklige Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke zerlegen kann, hat man eine Zerlegung in 6 gleichschenklige Dreiecke geschafft.
Gruß Abakus
PS: Eine Zerlegung in 5 gleichschenklige Dreiecke funktioniert auch.
Weil diese Aufgabe sehr an eine Bundeswettbewerbsaufgabe erinnert (in der bereits beendeten ersten Runde waren beliebige Dreiecke so zu zerlegen) möchte ich aber doch erst einmal zur Quelle deiner Aufgabe nachfragen.
Wie sieht es da aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Ferma |
Hallo Abakus,
natürlich ist das Problem aus einem Medium, hat aber nichts mit Landeswettbewerb oder Ähnlichem zu tun. Bei der Zerlegung in 4, gibt es leider zwei gleiche gleichschenklige Dreiecke, die keinen stumpfen Winkel haben. Die 5 oder 6 gleichsch. Dr. sollen alle u n t e r s c h i e d l i c h sein. Habe in meinem Leben lange Jahre die Schulbank gedrückt. Für mich ist Lernen tatsächlich eine Droge. Doch keine schlecht, oder doch?!
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Sa 14.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
> natürlich ist das Problem aus einem Medium, hat aber
> nichts mit Landeswettbewerb oder Ähnlichem zu tun. Bei der
> Zerlegung in 4, gibt es leider zwei gleiche
> gleichschenklige Dreiecke, die keinen stumpfen Winkel
> haben. Die 5 oder 6 gleichsch. Dr. sollen alle u n t e r s
> c h i e d l i c h sein. Habe in meinem Leben lange Jahre
> die Schulbank gedrückt. Für mich ist Lernen tatsächlich
> eine Droge. Doch keine schlecht, oder doch?!
> Gruß, Ferma
Hallo Ferma,
ich wusste nicht genau, wie ich "unterschiedlich" interpretieren sollte (eventuell nur als nicht gegenseitig überdeckend). Du meinst also "nicht paarweise kongruent"?
Dann wird es schwieriger.
Ich bin gerade bei Folgendem: Wenn ein Dreieck die Winkelgrößen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] 45°-$\alpha/4$ hat, [/mm] ist es stumpfwinklig und in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegbar.
Mal sehen, was ich draus machen kann.
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:53 So 15.09.2013 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen Abakus,
Die gleichschenkligen Dreiecke dürfen sich nicht überdecken, auch wenn eins gewendet wird, nicht. Also dürfen nicht alle Maße und Winkel gleich sein. Habe in das Quadrat mit Seite 1, 2 gleichschenklige Dreiecke gezeichnet. oben die gleichen Schenkel 0.5/cos(15°), Basis 1 und unten die gleichen Schenkel 1 Basis 1. Ist zwar ein gleichseitiges Dreieck, dürfte als gleichschenkliges durchgehen. Verbleiben leider 2 identische gleichschenklige Dreiecke mit den Schenkeln 1, Basis 0,5/cos(15°) Der spitze Winkel 30°. Ich meine, mit dieser symmetrischen Anordnung, geht es nicht weiter.
Gruß, Ferma
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> Ist zwar ein gleichseitiges Dreieck, dürfte als gleichschenkliges
> durchgehen.
Natürlich !!
Ein gleichseitiges Dreieck ist doch sogar
super-gleichschenklig !
Ebenso ist jedes Quadrat auch ein Rechteck,
ein Parallelogramm, ein Rhombus und ein
Drachenviereck.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Do 19.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Guten Morgen !
(07 Uhr 30) :
Ich dachte gerade, ich hätte eine Lösung mit 6 Dreiecken.
Leider stimmt es noch nicht ganz ...
Al-Chwarizmi
(09 Uhr 30) :
Ich habe jetzt zur Lösung nach Abakus eine Figur
erstellt: nette Übung zu Geogebra !
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Bild von Anhang 2 ist auch der Viertelkreis einge-
zeichnet, auf welchem der Punkt P wandern darf.
Die Tangente an den Kreisbogen im Punkt P schneidet
die Quadratseiten [mm] \overline{BC} [/mm] bzw. [mm] \overline{CD} [/mm] in den Punkten Q und R.
Aus dieser Konstruktion ergibt sich, dass ABQP und
APRD Drachenvierecke sind, welche durch ihre
Diagonalen [mm] \overline{BP} [/mm] bzw. [mm] \overline{PD} [/mm] in je zwei gleichschenklige
Dreiecke zerteilt werden können. Ferner lässt sich
auch das verbleibende rechtwinklige Dreieck RQC
durch die Strecke [mm] \overline{CM} [/mm] in zwei gleichschenklige
Dreiecke aufteilen. Dabei ist M der Mittelpunkt
der Hypotenuse [mm] \overline{RQ} [/mm] .
Die 6 entstandenen gleichschenkligen Dreiecke sind
offensichtlich paarweise inkongruent. Würde man
allerdings P genau in den Mittelpunkt des Bogens
[mm] $\overset{\frown} [/mm] {BD}$ setzen, so ginge diese Eigenschaft natürlich
verloren.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 So 15.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen !
>
> Ich dachte gerade, ich hätte eine Lösung mit 6
> Dreiecken.
> Leider stimmt es noch nicht ganz ...
>
> Al-Chwarizmi
Guten Morgen,
6 Dreiecke funktionieren. Man zeichne den Viertelkreisbogen um A mit den Radius AB, lege darauf einen Punkt P fest, der den Viertelkreis in zwei verschieden große Teile zerlegt und errichte die Tangente in P. Die Strecke AP und die Tangente zerlegen das Quadrat in zwei nicht kongruente Drachenvierecke und ein nicht gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.
Jede diese 3 Flächen ist in zwei nicht kongruente gleichschenklige Dreieecke zerlegbar.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 15.09.2013 | | Autor: | Ferma |
Die Lösung mit 6 gleichschenkligen Dreiecken ist perfekt! Mit 5 gibt es wahrscheinlich keine Lösung. Den Dingen sind halt Grenzen gesetzt. Vielen Dank an alle Beteiligten. Ein schönes Wochenende wünscht Euch
Ferma
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> Mit 5 gibt es wahrscheinlich keine Lösung.
> Den Dingen sind halt Grenzen gesetzt.
Ja, die Bedingung der Nicht-Kongruenz und das Verbot
rechter Winkel sind schon recht einschränkend.
Ein strenger Beweis, dass es mit 5 Dreiecken nicht
geht, steht aber trotzdem noch aus ...
LG , Al-Chw.
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