Eindeutigkeit bei Gleichungss. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
| Aufgabe 1 | Welchen Wert müsste man in der 1. Gleichung anstelle des jetzigen Koeffizieten [mm] a_{11} [/mm] = 8 einsetzen, damit das Gleichungssystem keine Lösung aufweist.
[mm] 8x_{1} [/mm] + [mm] 7x_{2} [/mm] = 22
[mm] 6x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 8 |
| Aufgabe 2 | Für welche Werte vom Vektor b existiert für dieses lineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung?
3Y + C + 2I = K
+Y - C - 2I = L
-Y + C + sI = M |
Hallo ihr,
Zu 1.)
Existenzbedingung: r(A) = r(A,b)
Für lineare Gleichungssysteme gilt ja außerdem für die Existenz einer eindeutigen Lösung [mm] detA\not=0
[/mm]
Reicht es hier aus die Determinante von A zu berechnen
(= c-42)
=> man müsste den Wert 42 einsetzen?
=> detA=0
=> keine eindeutige Lösung
Oder muss ich das über die erweiterte Koeffizientenmatrix berechnen, weil eindeutige Lösung [mm] \not= [/mm] Existenz einer Lösung ?
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Zu 2.)
Existenzbedingung für eine eindeutige Lösung:
r(A) = r(A,b) = n
Nach Umstellung und Berechnung komme ich auf folgendes Ergebnis...
1 1 2 | 1/3K
0 -2 -4 | L - 1/3K
0 0 s-2 | M - 1/3K
Muss ich jetzt daruas folgern, dass für
[mm] s\not=2 \wedge M\not=1 \wedge K\not=3
[/mm]
keine eindeutige Lösung existiert?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mi 17.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Welchen Wert müsste man in der 1. Gleichung anstelle des
> jetzigen Koeffizieten [mm]a_{11}[/mm] = 8 einsetzen, damit das
> Gleichungssystem keine Lösung aufweist.
>
> [mm]8x_{1}[/mm] + [mm]7x_{2}[/mm] = 22
> [mm]6x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 8
> Für welche Werte vom Vektor b existiert für dieses
> lineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung?
>
> 3Y + C + 2I = K
> +Y - C - 2I = L
> -Y + C + sI = M
> Hallo ihr,
> Zu 1.)
>
> Existenzbedingung: r(A) = r(A,b)
> Für lineare Gleichungssysteme gilt ja außerdem für die
> Existenz einer eindeutigen Lösung [mm]detA\not=0[/mm]
>
> Reicht es hier aus die Determinante von A zu berechnen
> (= c-42)
> => man müsste den Wert 42 einsetzen?
> => detA=0
> => keine eindeutige Lösung
Das ist soweit korrekt
>
> Oder muss ich das über die erweiterte Koeffizientenmatrix
> berechnen, weil eindeutige Lösung [mm]\not=[/mm] Existenz einer
> Lösung ?
Wenn es eine eindeutige Lösung gibt, hast du doch eine Existenz.
Hier könnte man auch über die Vielfachen der Gleichungen argumentieren.
Wenn [mm] a_{11}=42, [/mm] hättest du
[mm] \begin{vmatrix}42x_{1}+7x_{2}=22\\6x_{1}+x_{2}=8\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] \stackrel{I-7\cdot II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}42x_{1}+7x_{2}=22\\0=-34\end{vmatrix}
[/mm]
Die zweite Gleichung ist nun eine Falschaussage.
>
> ---------------------------------------------------------
> Zu 2.)
>
> Existenzbedingung für eine eindeutige Lösung:
> r(A) = r(A,b) = n
>
> Nach Umstellung und Berechnung komme ich auf folgendes
> Ergebnis...
>
> 1 1 2 | 1/3K
> 0 -2 -4 | L - 1/3K
> 0 0 s-2 | M - 1/3K
>
> Muss ich jetzt daruas folgern, dass für
> [mm]s\not=2 \wedge M\not=1 \wedge K\not=3[/mm]
> keine eindeutige
> Lösung existiert?
>
> -----------------------------------------
Ist [mm] $\vec{b}=\vektor{K\\L\\M}$?
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
Ja b ist [mm] \vektor{K \\ L \\ M}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mi 17.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Für welche Werte vom Vektor b existiert für dieses
> lineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung?
>
> 3Y + C + 2I = K
> +Y - C - 2I = L
> -Y + C + sI = M
> Hallo ihr,
> Zu 2.)
>
> Existenzbedingung für eine eindeutige Lösung:
> r(A) = r(A,b) = n
>
> Nach Umstellung und Berechnung komme ich auf folgendes
> Ergebnis...
>
> 1 1 2 | 1/3K
> 0 -2 -4 | L - 1/3K
> 0 0 s-2 | M - 1/3K
Wenn du "geschickt" rechnest, bekommst du ganz fix die Zeilenstufenform:
[mm] $\begin{vmatrix}3y+c+2i=K\\y-c-2i=L\\-y+c-si=M\end{vmatrix}$
[/mm]
Vertauschst du Spalte 2 und 3:
[mm] $\begin{vmatrix}3y+2i+c=K\\y-2i-c=L\\-y-si+c=M\end{vmatrix}$
[/mm]
I-II und I-III
[mm] $\begin{vmatrix}3y+2i+c=K\\2y=K-L\\4y+(2-s)i=K+M\end{vmatrix}$
[/mm]
Vertausche nun Zeile II und III
[mm] $\begin{vmatrix}3y+2i+c=K\\2y=K-L\\4y+(2-s)i=K+M[b]\\2y=K-L[/b]\end{vmatrix}$
[/mm]
Also hast du aus Zeile III [mm] y=\frac{K-L}{2} [/mm] das ganze ist noch kein Problem, da keine Variable nicht im Nenner auftaucht.
Damit bekommst du aus Zeile II:
[mm] i=\frac{M-K-2L}{2-s}
[/mm]
Untersuche nun den Fall s=2 gesondert.
Berechne auch aus Zeile I dann noch y.
An K, L und M sind erstmal keine Bedinungen zu stellen, da diese nicht im Nenner auftreten.
Kann es sein, dass nach einer Bedinung für s gefragt ist.?
>
> Muss ich jetzt daruas folgern, dass für
> [mm]s\not=2 \wedge M\not=1 \wedge K\not=3[/mm]
> keine eindeutige
> Lösung existiert?
Warum sollte das so sein?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo svenno,
leider waren deine Angaben zu dem Dateianhang unzureichend. Es muss klipp und klar sein, ob du der Urheber bist oder nicht, d.h.: du musst dazu Stellung nehmen.
Mag sein, dass diese Übungsaufgaben deiner Uni frei zugänglich sind. Tatsache ist: wir müssen das vor der VEröffentlichung prüfen, insofern sollte es für uns nachvollziehbar sein. Am besten realisiert man das, indem man zusätzlich zum Anhang noch einen Link zu der Quelle setzt.
Deinen obigen Anhang mussten wir aus den genannten Gründen zum Schutz des Vereins vorhilfe.de sperren.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
Wollte das bild letzendlich gar nicht hochladen... konnte es aber jetzt mehr löschen!
Kann also gerne gelöscht werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo svenno,
> Wollte das bild letzendlich gar nicht hochladen... konnte
> es aber jetzt mehr löschen!
> Kann also gerne gelöscht werden.
Löschen kannst du es m.W. nach nur selbst. Ist aber eigentlich egal, es kann auch so bleiben, wie es ist. Ich wollte dir eigentlich nur den einen oder anderen Tipp geben, was zu beachten ist, wenn man hier Dateien hochlädt, insbesondere für den Fall, dass sie zwar urheberrechtsfrei sind, aber keine selbst verfassten Werke. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
Hier die komplette Aufgabe:
0 = -3y -c -2i +K
-c = -y -2i +L
si = -y -c +M
Vektor b= [K L M], y,c und i = Variablen
In einer Teilaufgabe ist einmal b= [ 6 10 6] vorgegeben aber ich denke das wird ja in meiner Aufgabe nicht benötigt.
Lässt sich die Aufgabe gar nicht über die erweiterte Koeffizientenmatrix lösen?
VIELEN DANK natürlich für deine Lösung zur Aufgabe 1.
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> Für welche Werte vom Vektor b existiert für dieses
> lineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung?
>
> 3Y + C + 2I = K
> +Y - C - 2I = L
> -Y + C + sI = M
---------------------------------------------------------
> Zu 2.)
>
> Existenzbedingung für eine eindeutige Lösung:
> r(A) = r(A,b) = n
Hallo,
ich weiß zwar nicht, was Du mit "n" meinst, aber recht hast Du damit, daß ein lineares Gleichungssystem lösbar ist, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt.
>
> Nach Umstellung und Berechnung komme ich auf folgendes
> Ergebnis...
>
> 1 1 2 | 1/3K
> 0 -2 -4 | L - 1/3K
> 0 0 s-2 | M - 1/3K
Ich glaube, Du hast Dich vertan, und zwar gleich bei der ersten Zeile.
Ist für das, was ich Dir sagen will, aber eigentlich wurscht. Mir geht's um das Prinzip.
> Muss ich jetzt daruas folgern, dass für
> [mm]s\not=2 \wedge M\not=1 \wedge K\not=3[/mm]
> keine eindeutige
> Lösung existiert?
Schauen wir mal ganz in Ruhe.
1. Fall: [mm] s\not=2
[/mm]
Dann ist Rang(A)=Rang(A,b)=3,
und das Gleichungssystem ist lösbar.
Das Gleichungssystem ist sogar eindeutig lösbar, denn wir haben drei Variablen, und die Koeffizientenmatrix hat den Rang 3.
2. Fall: s=0
2a. Es ist M - 1/3K=0
Dann stimmen die beiden Ränge überein, das LGS ist lösbar.
Es ist aber nicht eindeutig lösbar, denn der Rang der Koeffizientenmatrix ist kleiner als die Anzahl der Variablen.
2b. Es ist M - [mm] 1/3K\not=0
[/mm]
Dann ist das LGS nicht lösbar, denn die beiden Ränge sind verschieden.
Ich will jetzt nochmal
> Existenzbedingung für eine eindeutige Lösung:
> r(A) = r(A,b) = n
aufgreifen.
Du hast ein LGS mit 3 Variablen.
Dieses ist lösbar, wenn die beiden Ränge übereinstimmen, und es ist in diesem Fall eindeutig lösbar, wenn r(A) = r(A,b) = [mm] \red{3}
[/mm]
Ob (bzw. für welches s) der rang(A)=3, kannst Du auch fix anhand der Determinante prüfen.
Du kommst zum Ergebnis: für [mm] s\not=3 [/mm] ist [mm] det(A)\not=0, [/mm] also Rang(A)=3.
Nun bleibt dem Rang von (A,b) hier nichts anderes mehr übrig, als auch =3 zu sein.
Und Du weißt anhand der Determinante auch gleich schon, daß es für s=2 keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
Habe mich natürlich wie du schon richtig gesagt hast gleich im 1. Schritt verrechnet.
Die richtige Lösung ist hoffentlich...
+1 +3 +6 K-2L
+0 -2 -s-2 L-M
+0 +0 2s-4 -K+L+2M
Ist es jetzt richtig zu sagen, dass für
-K+L+2M = 0
keine eindeutige Lösung existiert, da die Bedingung
r(A)=R(a,b)=n=3
verletzt ist?
Auch wenn in der Aufgabenstellung nach bestimmten Werten gefragt wird?
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> Habe mich natürlich wie du schon richtig gesagt hast
> gleich im 1. Schritt verrechnet.
> Die richtige Lösung ist hoffentlich...
>
> +1 +3 +6 K-2L
> +0 -2 -s-2 L-M
> +0 +0 2s-4 -K+L+2M
Hallo,
ich rechne das jetzt nicht nach - habe aber auch hier das Gefühl, daß etwas falsch ist.
Wenn Du es kontrolliert haben möchtest, müßtest Du mal die komplette Rechnung posten.
Ich arbeite jetzt mal trotzdem mit der Matrix, die Du bekommen hast:
>
> Ist es jetzt richtig zu sagen, dass für
> -K+L+2M = 0
> keine eindeutige Lösung existiert, da die Bedingung
> r(A)=R(a,b)=n=3
> verletzt ist?
Nein. Wie kommst Du darauf?
K,L,M haben doch auf den Rang von A überhaupt keinen Einfluß.
Es ist hier das s, welches den Rangvon A bestimmt.
Und wenn nun s so ist, daß der Rang =3 ist, ändert sich daran doch durch keine Wahl von K,L,M etwas.
K,L,M spielen hier eine Rolle bei einer anderen Frage:
mal angenommen, s ist so, daß Rang A =2.
Dann hängt es von K,L,M ab, ob das System lösbar ist oder nicht.
Das hatte ich ja zuvor schon erklärt, glaube ich.
>
> Auch wenn in der Aufgabenstellung nach bestimmten Werten
> gefragt wird?
???
Die genaue Aufgabenstellung hältst Du ja geheim...
Die Antwort nach der eindeutigen Lösbarkeit ist:
für [mm] s\not=2 [/mm] ist das LGS eindeutig lösbar, völlig unabhängig von der Wahl von K,L,M.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
Die komplette Aufgabenstellung steht in meinem ersten Post.
Mehr Informationen habe ich auch nicht.
Das der r(A) von s abhängt verstehe ich.
Die Bedingung dafür das es eine eindeutige Lösung gibt ist aber doch, dass
r(A) = r(A,b) = n=3 ist.
Gehen wir mal davon aus das es s gar nicht gibt und r(A)=3 gilt.
Wenn ich mich jetzt nur mal auf r(A,b) konzentriere, gilt doch r(A,b)=2 für -K+L+2M = 0 oder nicht?
Das bedeutet: r(A)=3 > 2=r(A,b)
Also kleine eindeutige Lösung?!
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> Das der r(A) von s abhängt verstehe ich.
> Die Bedingung dafür das es eine eindeutige Lösung gibt
> ist aber doch, dass
> r(A) = r(A,b) = n=3 ist.
Hallo,
ja.
>
> Gehen wir mal davon aus das es s gar nicht gibt und r(A)=3
> gilt.
Ja.
Z.B., wenn in Deiner Aufgabe s=5 ist.
> Wenn ich mich jetzt nur mal auf r(A,b) konzentriere, gilt
> doch r(A,b)=2 für -K+L+2M = 0 oder nicht?
Nein.
Auch für -K+L+2M=0 ist Rang(A,b)=3.
(A,b) ist [mm] 3\times [/mm] 4-Matrix, also A mit noch einer Spalte rechts dran.
>
> Das bedeutet: r(A)=3 > 2=r(A,b)
Das wird nicht eintreffen: wenn ich die Matrix mit einer weiteren Spalte versehe, kann ihr Rang nicht kleiner werden!
LG Angela
> Also kleine eindeutige Lösung?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 17.07.2013 | | Autor: | svenno |
Okay danke für deine tollen Erklärungen. Verstehe deine Rechnungen und Aussagen...
Macht denn dann die Fragestellung überhaupt sinn?
Die eindeutige Lösbarkeit hängt, soweit ich das jetzt alles richtig verstanden habe, nur von s ab.
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> Okay danke für deine tollen Erklärungen. Verstehe deine
> Rechnungen und Aussagen...
> Macht denn dann die Fragestellung überhaupt sinn?
Hallo,
Ja.
Auf die Frage nach der Wahl von K,L,M gibt es doch eine Antwort.
> Die eindeutige Lösbarkeit hängt, soweit ich das jetzt
> alles richtig verstanden habe, nur von s ab.
Ob ein LGS, sofern es überhaupt lösbar ist (!), eindeutig lösbar ist, bestimmt nur die Koeffizientenmatrix A.
Schauen wir doch mal dies hier an:
[mm] \pmat{1&2&3&|&4\\0&5&6&|&7\\0&0&s-8&|&c\\0&0&0&|&d}.
[/mm]
Als erstes stellen wir fest: für [mm] d\not=0 [/mm] ist das System nicht lösbar.
Für diesen Fall können wir alle weiteren Betrachtungen einstellen und uns zum Nickerchen auf die Couch begeben.
Sei nun d=0.
Für [mm] s\not=8 [/mm] ist Rang(A)=3=Rang(A,b).
Das System ist eindeutig lösbar völlig wurscht, was c ist.
Nächster Fall:
d=0 und s=8
Die Lösbarkeit hängt von c ab.
Für c=0 ist das System nicht lösbar,
für [mm] c\not=0 [/mm] gibt es unendlich viele Lösungen.
LG Angela
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Hier nochmal die komplette Aufgabe