Eindeutigkeit der QR-Zerlegung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für die nichtsinguläre nxn Matrix A seien die beiden QR-Zerlegungen A=Q1*R1=Q2*R2 gegeben. Dabei seien R1, R2 obere Dreiecksmatrizen und Q1, Q2 unitäre Matrizen. Zeigen Sie, dass eine orthogonale Diagonalmatrix D (also mit Diagonalelementen +/- 1) mit Q2=Q1*D und R2=D'*R1 existiert. Formulieren und zeigen Sie eine entsprechende Aussage für komplexe Matrizen A, Q, R. |
Mein Problem ist, dass dieses ganze Thema irgendwie noch nicht in meinen Kopf will... Dass die Zerlegung nicht eindeutig sein kann, ist klar, da es ja verschiedene Methoden gibt. Aber wie kommt man jetzt auf dieses D?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 24.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo madde_dong!
Im Falle [mm] $Q_1R_1 [/mm] = [mm] Q_2R_2$ [/mm] ist
$M:= [mm] Q_2Q_1^{-1} [/mm] = [mm] R_2 R_1^{-1}$
[/mm]
eine orthogonale obere Dreiecksmatrix. Es gilt also:
[mm] $M^{-1} [/mm] = [mm] M^T$,
[/mm]
wobei [mm] $M^{-1}$ [/mm] eine obere und [mm] $M^T$ [/mm] eine untere Dreicksmatrix ist, was nur dann möglich ist, wenn [mm] $M^T$ [/mm] und damit $M$ eine Diagonalmatrix mit
[mm] $M^2=E$
[/mm]
ist. Dies wiederum geht nur dann, wenn die Diagonalelemente alle den Betrag $1$ haben.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:28 Do 26.01.2006 | | Autor: | madde_dong |
Vielen Dank für deine Hilfe! Auf den Trick mit dem M wäre ich so einfach nicht gekommen!
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