Eindeutigkeit einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Yomu |
Hallo zusammen,
Es geht um die Eindeutigkeit einer Funktion, ich kann mir darunter irgendwie nichts vorstellen.
Vielleicht eine Funktion die sich nicht anders darstellen laesst? Wie sieht denn eine Funktion aus die nicht eindeutig ist, ist vielleicht der logarithmus nicht eindeutig weil er sich einmal als Umkehrfunktion und einmal als Integral darstellen laesst?
Und wie beweist man die Eindeutigkeit einer Funktion?
Danke,
mfg Yomu
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Hallo Yomu,
> Hallo zusammen,
> Es geht um die Eindeutigkeit einer Funktion, ich kann mir
> darunter irgendwie nichts vorstellen.
> Vielleicht eine Funktion die sich nicht anders darstellen
> laesst? Wie sieht denn eine Funktion aus die nicht
> eindeutig ist, ist vielleicht der logarithmus nicht
> eindeutig weil er sich einmal als Umkehrfunktion und einmal
> als Integral darstellen laesst?
> Und wie beweist man die Eindeutigkeit einer Funktion?
Die Frage ist viel zu schwammig gestellt. Eindeutigkeit ist eine Eigenschaft. Eigenschaften beziehen sich auf irgendetwas, sie kommen Dingen oder Begriffen zu. In welcher Hinsicht also meinst du hier Eindeutigkeit?
Auf die Schnelle fallen mir zwei Dinge ein, die aber (das steht in deinem Profil) eigentlich für jemand der studiert selbstverständlich sein müssten.
- Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sprich: jedem Element aus der Definitionsmenge wird auf eindeutige Art und Weise ein Element der Zielmenge bzw. Wertemenge zugeordnet. Flapsig: für jedes Element der Definitionsmenge gibt es genau einen Funktionswert. In diesem Sinne ist insbesondere jede Funktion eindeutig.
- In der höheren Mathematik definiert man Funktionen oftmals über ihre Eigenschaften, die sich ja auch oft als sog. Funktionalgleichungen oder auch durch Differenzialgleichungen formulieren lassen. Bspw. ist die Exponentialfunktion durch die beiden Forderungen
- f'(x)=f(x)
- f(0)=1
eindeutig festgelegt in dem Sinne, dass es nur eine einzige Funktion gibt, der beide Eigenschaften zukommen: nämlich [mm] f(x)=e^x.
[/mm]
So, das ist dir aber wahrscheinlich alles geläufig, von daher präzisiere bitte dein Anliegen, ich habe es nicht wirklich verstehen können.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Diophant,
> - In der höheren Mathematik definiert man Funktionen
> oftmals über ihre Eigenschaften, die sich ja auch oft als
> sog. Funktionalgleichungen oder auch durch
> Differenzialgleichungen formulieren lassen.
ups - ich hatte das überlesen, dass Du schon darauf hingewiesen hattest.
Aber immerhin hatten wir i.W. komplett gleiche Gedankengänge. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
> Es geht um die Eindeutigkeit einer Funktion, ich kann mir
> darunter irgendwie nichts vorstellen.
das ist auch eine etwas ungünstige Formulierung. Vermutlich ist das, was
Diophant sagte, damit gemeint. Siehe auch
![[]](/images/popup.gif) Definition 1.6 (b)
Wenn Du eine Funktion (wie in der dortigen Definition) als Relation
betrachtest, dann ist das vielleicht klarer, was eine Verletzung von 1.6 (b)
bedeuten würde.
Das Problem ist aber, dass dann eine Relation [mm] $R\,$ [/mm] halt gar nicht mehr
Abbildung oder Funktion genannt werden dürfte. Manche benutzen
dennoch diesen - eigentlich sogar falschen - Ausdruck dafür. (Falsch ist
das dann deswegen, weil, wenn ich gar keine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] habe, macht
es auch keinen Sinn, davon zu reden, dass sie nicht eindeutig sei.)
> Vielleicht eine Funktion die sich nicht anders darstellen laesst?
Na, je nach Zusammenhang kann es halt auch anders gemeint sein:
Es kann sein, dass jemand sagt: "Wenn man eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ vorliegen hat,
die die Eigenschaften [mm] $P_1,...,P_n$ [/mm] erfüllt, dann ist diese Funktion eindeutig
bestimmt (und sie läßt sich darstellen als: ...)."
Hier macht das alles Sinn, es bedeutet dann folgendes: Sind [mm] $f_1,f_2 \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ zwei Funktionen,
die BEIDE die Eigenschaften [mm] $P_1,...,P_n$ [/mm] besitzen, so folgt schon [mm] $f_1=f_2\,.$
[/mm]
Weil hier dann eh schon [mm] $f_1, f_2$ [/mm] den gleichen Definitionsbereich [mm] $D\,$ [/mm] und die
gleiche Zielmenge [mm] $Z\,$ [/mm] haben, ist dann [mm] $f_1=f_2$ [/mm] gleichwertig mit:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in D:\;\;f_1(x)=f_2(x)\,.$
[/mm]
> Wie sieht denn eine Funktion aus die nicht
> eindeutig ist, ist vielleicht der logarithmus nicht
> eindeutig weil er sich einmal als Umkehrfunktion und einmal
> als Integral darstellen laesst?
Ich glaube nicht, dass das damit etwas zu tun hat. (Denk' selber nochmal
drüber nach, warum das mehr als unwahrscheinlich ist!)
> Und wie beweist man die Eindeutigkeit einer Funktion?
Wenn es in letztstehendem Sinne gemeint ist, halt so, wie ich es formuliert
habe.
Beispiel: Sei $f [mm] \colon [/mm] (0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(1/2)=1\,$ [/mm] und $f'(x)=0$ für alle $0 < x < [mm] 1\,.$
[/mm]
Behauptung: Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] eindeutig bestimmt! (Tatsächlich kann man sogar - relativ einfach -
auch $f(x)=1$ für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ zeigen).
Beweis: Seien [mm] $f_1,\,f_2 \colon [/mm] (0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_1(1/2)=f_2(1/2)=1\,$ [/mm] und [mm] $f_1'(x)=f_2'(x)=0$ [/mm] für alle $0 < x < [mm] 1\,.$ [/mm]
Wegen [mm] $(f_1-f_2)'(x)=0\,$ [/mm] folgt [mm] $(f_1-f_2)(x)\equiv [/mm] c$ mit einer Konstanten [mm] $c\,.$ [/mm]
(Siehe Analysis I!) Wegen [mm] $f_1(1/2)=f_2(1/2)=1\,$ [/mm] folgt
[mm] $c=(f_1-f_2)(1/2)=f_1(1/2)-f_2(1/2)=1-1=0\,,$
[/mm]
also ergibt sich
[mm] $(f_1-f_2)(x)=f_1(x)-f_2(x)=0$ [/mm] für alle $0 < x < [mm] 1\,,$
[/mm]
und daher [mm] $f_1=f_2\,.$
[/mm]
Du siehst, dass wir hier nur bewiesen haben: Wenn es eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] (0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit
$f'=0$ und [mm] $f(1/2)=1\,$ [/mm] (überhaupt) geben sollte, dann gibt es davon auch
nur genau eine!
Was wir hier nicht gemacht haben: Wir haben nicht gezeigt, dass es eine
solche Funktion überhaupt gibt. (Allerdings könnte man hier auch direkt
schneller die Eindeutigkeit INKLUSIVE Existenz einer solchen Funktion
zeigen - die obige Aussage inklusive Beweis ist daher eher "akademischer
Natur". Nichtsdestrotrotz können wir jetzt, nur mit obigen Beweis, folgern:
Da $f [mm] \colon [/mm] (0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1\,$ [/mm] für alle $0 < x < 1$ die genannten Eigenschaften
erfüllt, wird genau diese Funktion dadurch charakterisiert! (Der
Existenzbeweis (in der Aufgabenformulierung steht aber nichts davon,
dass der durchzuführen wäre - ich ergänze es trotzdem) läuft hier dann
also durch Hinschreiben einer Funktion mit den gewünschten
Eigenschaften ab!)).
Gruß,
Marcel
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