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| Aufgabe | Gegeben ist die DGL 2. Ordnung:
y''+y=0
Schreiben Sie sie in ein `DGL-System 1.Ordnung um, indem Sie eine neue Funktion z durch z:=y' definieren.
Die Paare (y(x),z(x))= (sinx,cosx) und
(y(x),z(x))= (cosx,-sinx) sind Lösungen des erhaltenen DGL-Systems.
Zeigen Sie anhand der DGL mit Hilfe des Existenz- und Eindeutigkeitssatz, dass sin und cos keine gemeinsamen Nullstellen haben. |
Originallösung:
Sei ξ eine solche gemeinsame Nullstelle, cos ξ = sin ξ = 0.
Wir formulieren das Anfangswertproblem
z′ = −y, y′ = z, (y(ξ), z(ξ)) = (0, 0)
Dieses AWP wird aber sowohl von (sin x, cos x) als auch von (cos x,−sin x) gelöst.
Das sind zwei verschiedene Lösungen, was der Eindeutigkeit widerspricht.
Frage:
Hallo, meine Frage bezieht sich direkt auf die gegebene Lösung. Ich verstehe die Lösung irgendwie nicht. Ich habe mir die Definition vom EES mehrmals durchgelesen. Kann mir irgendjemand die Lösung nochmal mit eigenen Worten erklären?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 04.09.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Christian87,
schon ein merkwürdiger Beweisansatz, wo doch jeder weiß, wo die Nullstellen von sin und cos liegen, man wird so an Kanonen und Spatzen erinnert; sei's drum, der Beweis ist mal was anderes.
Also:
Zunächst mal handelt es sich um einen indirekten Beweis, d.h. es wird angenommen, dass es eine gemeinsame Nullstelle gibt, mit Namen ξ.
Die Idee des Beweises besteht nun darin, eine Anfangswertaufgabe zu finden, die einerseits aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes nur eine Lösung haben kann, andererseits aber unter obiger Annahme der gemeinsamen Nullstelle von sin und cos zwei Lösungen präsentiert (was mit der Eindeutigkeit unvereinbar ist). Dies erzeugt dann den Widerspruch.
Eine typische DGl, die sin und cos als Lösung hat, ist in der Aufgabe angegeben y'' + y = 0. Die Unformung in ein System 1. Ordnung dient der Anwendbarkeit des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Dann wird die AWA konstruiert, die Anfangswerte ergeben sich gerade aus der Annahme. Bitte, die DGl hat natürlich keine eindeutige Lösung, erst als AWA hat man diese Aussage.
Ich hoffe, ich habe zum Verständnis beigetragen.
Gruß
Uli
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