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| Aufgabe | -8x³ -2xy² +4 = 0
-8y³ -32yx² +2y= 0 |
Hallo die obige gleichung habe ich erhalten nachdem ich ein vektorfeld nach x und y abgeleitet habe.
sozusagen der gradient
nun möchte ich alle nullstellen/nullvektor herausfinden, weiß aber nicht genau wie ich vorgehen soll.
ich weiß zumindest wie ich die erste heraus bekomme.
ich klammer 2x und 2y aus=
2x(-4x²-y²+4)=0
2y(-16x²-4y²+1)=0
nun weiß ich dass ein faktor =0 sein muss um 0 zu erhalten...
als habe ich die erste nullstelle bei (0,0)
wie gehts nun weiter ?
gruß rudi
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Hallo Rudi,
so einfach sieht das aber gar nicht aus...
> -8x³ -2xy² +4 = 0
> -8y³ -32yx² +2y= 0
> Hallo die obige gleichung habe ich erhalten nachdem ich
> ein vektorfeld nach x und y abgeleitet habe.
Gib besser das Vektorfeld auch mal an. 
> sozusagen der gradient
>
> nun möchte ich alle nullstellen/nullvektor herausfinden,
> weiß aber nicht genau wie ich vorgehen soll.
>
> ich weiß zumindest wie ich die erste heraus bekomme.
>
> ich klammer 2x und 2y aus=
>
> 2x(-4x²-y²+4)=0
> 2y(-16x²-4y²+1)=0
Na, so geht das mit dem Ausklammern in der ersten Gleichung aber nicht, oder war die oben falsch angegeben?
> nun weiß ich dass ein faktor =0 sein muss um 0 zu
> erhalten...
>
> als habe ich die erste nullstelle bei (0,0)
Wenn Du richtig ausgeklammert hast (also die Ausgangsgleichung falsch war), dann liegen die Lösungen von
I) [mm] -4x^2-y^2+4=0
[/mm]
II) [mm] -16x^2-4y^2+1=0
[/mm]
jeweils auf einer Ellipse.
Aber vielleicht klären wir besser erst mal die genaue Aufgabenstellung.
Grüße
reverend
PS: Verwende doch bitte nicht diese albernen Tastaturexponenten, die kann man echt kaum lesen. In LaTeX ergibt a^{b} die Potenz [mm] a^b.
[/mm]
Wenn der Exponent nur genau ein Zeichem lang ist, kann man die geschweiften Klammern auch weglassen.
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hey,
du hast natürlich recht. ursprünglich war es
I) $ [mm] -8x^3-2xy^2+8x=0 [/mm] $
II) $ [mm] -8y^3-32yx^2+2y=0 [/mm] $
wenn ich ehrlich bin habe ich die ursprungsfunktion nicht mehr. ich habe hier nur ein blat vor mir liegen und die ergebnisse(nullstellen)
es geht in der aufgabe darum, mit der hessematrix die extreme etc. herauszufinden.
dazu muss man ja erstmal einmal nach x und nach y ableiten um herauszufinden, welche x und y-werte wir für die hessematrix überhaupt haben.
ich habe bisher nur (0;0) finden können.
nun steht das als tipp...
wenn x=0 und [mm] y\not=0 [/mm] ..... dann muss ich "irgendwas" irgendwo einsetzen und nach "irgendwas" auflösen...
allerdings wenn x=0 ist und [mm] y\not=0 [/mm] ist, kann ich ja nicht einfach in:
[mm] 2x(-4x^2-y^2+4)=0 [/mm]
[mm] 2y(-16x^2-4y^2+1)=0 [/mm]
einsetzen ... ?!?
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Hallo nochmal,
naja, "einsetzen" ist hier auch eine ungeschickte Formulierung.
Ganz unten noch ein edit.
> du hast natürlich recht. ursprünglich war es
>
> I) [mm]-8x^3-2xy^2+8x=0[/mm]
> II) [mm]-8y^3-32yx^2+2y=0[/mm]
Ok.
> wenn ich ehrlich bin habe ich die ursprungsfunktion nicht
> mehr.
Bis auf eine Konstante müsstest Du sie rekonstruieren können.
> ich habe hier nur ein blat vor mir liegen und die
> ergebnisse(nullstellen)
>
> es geht in der aufgabe darum, mit der hessematrix die
> extreme etc. herauszufinden.
Ja, schon klar.
> dazu muss man ja erstmal einmal nach x und nach y ableiten
> um herauszufinden, welche x und y-werte wir für die
> hessematrix überhaupt haben.
Stimmt.
> ich habe bisher nur (0;0) finden können.
>
> nun steht das als tipp...
>
> wenn x=0 und [mm]y\not=0[/mm] ..... dann muss ich "irgendwas"
> irgendwo einsetzen und nach "irgendwas" auflösen...
Das steht hoffentlich so nicht da!
> allerdings wenn x=0 ist und [mm]y\not=0[/mm] ist, kann ich ja nicht
> einfach in:
>
> [mm]2x(-4x^2-y^2+4)=0[/mm]
> [mm]2y(-16x^2-4y^2+1)=0[/mm]
>
> einsetzen ... ?!?
Nehmen wir erstmal nur die erste Gleichung:
I) [mm] 2x*(-4x^2-y^2+4)=0
[/mm]
Das ist für x=0 und beliebiges y erfüllt (erster Faktor =0).
Es ist auch erfüllt für [mm] -4x^2-y^2+4=0\;\;\gdw\;\;(2x)^2+y^2=4. [/mm] Das ist die implizite Form einer Ellipse mit den beiden Halbachsen a=1 (x-Richtung) und b=2 (y-Richtung).
Also sind z.B. (1;0), (-1;0), [mm] (\pm\tfrac{1}{2}\wurzel{2};\pm\wurzel{2}) [/mm] etc. Lösungen.
Für die zweite Gleichung geht das entsprechend.
Schließlich musst Du noch herausfinden, welche Lösungen tatsächliche beide Gleichungen erfüllen.
Es gibt genau 8 davon. Davon liegen auf beiden Ellipsen jeweils 6.
edit: Sorry, ich habe den Nullpunkt unterschlagen, aber den hattest Du ja auch schon. Also insgesamt doch 9 Lösungen.
Grüße
reverend
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danke erstmal, aber du spirchstm ir ein wenig zu "hoch".
du sagst
Nehmen wir erstmal nur die erste Gleichung:
I) $ [mm] 2x\cdot{}(-4x^2-y^2+4)=0 [/mm] $
Das ist für x=0 und beliebiges y erfüllt (erster Faktor =0).
gut, aber wenn x=0 ist , dann ist1: [mm] (-4*(0)^2-y^2+4)=0 [/mm] --> [mm] -y^2+4=0 [/mm] -->
aber nun kann ich ja nicht einfach nach y auflösen und habe mein y zu x=0, odeR ?
den rest den du mir versucht hast zu erklären, ist mir nicht ganz verständlich... ich habe keine ahnung ob es eine ellipse ist, habe sie noch nicht gezeichnet und soltle ich laut aufgabenstellung auch nicht..
du sagstest:
Es ist auch erfüllt für $ [mm] -4x^2-y^2+4=0\;\;\gdw\;\;(2x)^2+y^2=4. [/mm] $
kann ich leider nicht nachvollziehen wie du darauf kamst.
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Hallo Rudi,
ich habe nicht den Eindruck, dass meine Ausdrucksweise schwierig ist. Falls es dazu eine dritte Meinung gibt, bin ich durchaus daran interessiert.
Ansonsten scheinst Du mir Schwierigkeiten mit dem Schulstoff zu haben, vor allem dem der Mittelstufe. Den solltest Du besser nachholen, bevor Du Dich an Vektorfelder, partielle Ableitungen und Gradienten begibst. Sorry, aber das ist ernstgemeint.
> danke erstmal, aber du spirchstm ir ein wenig zu "hoch".
>
> du sagst
>
> Nehmen wir erstmal nur die erste Gleichung:
>
> I) [mm]2x\cdot{}(-4x^2-y^2+4)=0[/mm]
>
> Das ist für x=0 und beliebiges y erfüllt (erster Faktor
> =0).
Wenn ein Produkt Null ist, dann ist mindestens einer der Faktoren ebenfalls Null, aber eben nicht notwendig alle.
> gut, aber wenn x=0 ist , dann ist1: [mm](-4*(0)^2-y^2+4)=0[/mm] -->
> [mm]-y^2+4=0[/mm] -->
>
> aber nun kann ich ja nicht einfach nach y auflösen und
> habe mein y zu x=0, odeR ?
Du kannst hier sehr einfach nach y auflösen (Stoff 9. Klasse G9, 8. Klasse G8). Das ist nur vollkommen unnötig, da mit x=0 der erste Faktor ja schon Null ist. y kann also vollkommen beliebig gewählt werden.
> den rest den du mir versucht hast zu erklären, ist mir
> nicht ganz verständlich... ich habe keine ahnung ob es
> eine ellipse ist, habe sie noch nicht gezeichnet und soltle
> ich laut aufgabenstellung auch nicht..
Ich habe weiter gedacht als Deine Aufgabenstellung, um es Dir anschaulich zu machen. Wie willst Du eine Aufgabe in der Berufspraxis lösen, wenn Du das nur mit einer schrittweisen Anleitung kannst? Manchmal muss man eben auch etwas versuchen, das erst einmal gar nicht nötig zu sein scheint, hier also die geometrische Interpretation des zweiten Faktors.
> du sagstest:
>
> Es ist auch erfüllt für
> [mm]-4x^2-y^2+4=0\;\;\gdw\;\;(2x)^2+y^2=4.[/mm]
>
> kann ich leider nicht nachvollziehen wie du darauf kamst.
Das ist nur der zweite Faktor. Wenn das Produkt Null sein soll, aber [mm] x\not=0 [/mm] ist, dann muss also der zweite Faktor Null sein, also [mm] -4x^2-y^2+4=0. [/mm] Die Umformung zur rechten Seite ist Stoff der 7. Klasse G9, 6. Klasse G8.
Du bist dran.
Grüße
reverend
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| Aufgabe | [mm] -8x^3-2xy^2+8x=0
[/mm]
[mm] -8y^3-32yx^2+2y=0
[/mm]
oder auch:
[mm] 2x(-4x^2 -y^2+4)=0
[/mm]
[mm] 2y(-4y^2-16x^2+1)=0 [/mm] |
ok, probieren wir es nochmal.
also unser P1 = (0,0)
Nun müssen wir schauen, wenn [mm] x\not=0 [/mm] und y=0 ist:
dann muss ja bei:
[mm] 2x(-4x^2 -y^2+4)=0
[/mm]
der 2. Faktor =0 sein
also:
[mm] -4x^2 -y^2+4=0
[/mm]
das kann ich nun nach y umstellen:
y = [mm] \wurzel{-4x^2+4}
[/mm]
= [mm] (-4x^2+4)^\bruch{1}{2}
[/mm]
= -2x [mm] -8x^2+2 [/mm] // ordnen
= [mm] -8x^2 [/mm] -2x +2
und nun y in 2. gleichung einsetzen ?..ne ich vermute nicht...wie gehts nun weiter ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 30.05.2015 | | Autor: | hippias |
> [mm]-8x^3-2xy^2+8x=0[/mm]
> [mm]-8y^3-32yx^2+2y=0[/mm]
>
> oder auch:
>
>
> [mm]2x(-4x^2 -y^2+4)=0[/mm]
> [mm]2y(-4y^2-16x^2+1)=0[/mm]
> ok, probieren wir es nochmal.
>
> also unser P1 = (0,0)
>
>
> Nun müssen wir schauen, wenn [mm]x\not=0[/mm] und y=0 ist:
>
> dann muss ja bei:
>
> [mm]2x(-4x^2 -y^2+4)=0[/mm]
>
> der 2. Faktor =0 sein
Ja.
>
> also:
>
> [mm]-4x^2 -y^2+4=0[/mm]
>
> das kann ich nun nach y umstellen:
>
Wozu das? Du kennst $y$ doch bereits: es ist nach Annahme $=0$. Ersetze also $y$ durch $0$ und berechne stattdessen $x$.
> y = [mm]\wurzel{-4x^2+4}[/mm]
>
> = [mm](-4x^2+4)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> = -2x [mm]-8x^2+2[/mm] // ordnen
>
> = [mm]-8x^2[/mm] -2x +2
>
> und nun y in 2. gleichung einsetzen ?..ne ich vermute
> nicht...wie gehts nun weiter ?
>
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aber weshalb weiß ich schon dass y=0 ist ?
[mm] 2x(-4x^2 -y^2+4)=0 [/mm]
hier weiß ich, dass wenn x/not=0 ist, dass [mm] -4x^2 -y^2+4=0 [/mm] sein muss.... aber wieso weiß ich dann gleich dass y=0 ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mo 01.06.2015 | | Autor: | hippias |
Du selber hast geschrieben: "Nun müssen wir schauen, wenn $ [mm] x\not=0 [/mm] $ und y=0 ist"
Deswegen weisst Du, dass $y=0$: Du selber hast es so festgelegt.
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stimmt, ok. machen wir so:
wenn $ [mm] x\not=0 [/mm] $ und y=0
2x(-4x²-y²+4)=0
also kann der erste faktor nicht = 0 werden, also muss der 2. faktor = 0 werden
-4x²-y²+4=0
y = 0 haben wir gesagt:
-4x²+4 = 0 [mm] //+4x^2
[/mm]
[mm] +4x^2 [/mm] = 4 // :4
[mm] x^2 [/mm] = 1 // wurzel aus 1
x = +- 1
P2,3 = (+-1/0)
nun:
wenn [mm] y\not=0 [/mm] und x=0
2y(-16x²-4y²+1)=0
1 faktor kann nicht 0 sein
also
-16x²-4y²+1=0 //x = 0
-4y²+1=0 //+ 4y²
1=4y² // :4
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] y^2 [/mm] // wurzel aus [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
+ - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = y
p4,5(0 [mm] /+-\bruch{1}{2})
[/mm]
????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 01.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Das waren nun die einfachen Fälle. Im Weiteren kannst Du also voraussetzen, dass $x [mm] \ne [/mm] 0$ und $y [mm] \ne [/mm] 0$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mi 27.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> hey,
>
> du hast natürlich recht. ursprünglich war es
>
> I) [mm]-8x^3-2xy^2+8x=0[/mm]
> II) [mm]-8y^3-32yx^2+2y=0[/mm]
>
> wenn ich ehrlich bin habe ich die ursprungsfunktion nicht
> mehr.
Gleichung I) muss falsch sein ! Denn ist f eine Funktion mit
[mm] f_y=-8y^3-32yx^2+2y, [/mm]
so ist
[mm] f=-2y^4-16y^2x^2+y^2+c(x)
[/mm]
mit einer noch unbekannten Funktion c. Wir haben dann (nach Differentiaton nach x):
[mm] -32xy^2+c'(x)=f_x=-8x^3-2xy^2+8x.
[/mm]
Das führt auf
[mm] c'(x)=-8x^3+8x+30xy^2.
[/mm]
Das ist aber absurd !
I) lautet richtig so:
[mm]-8x^3-32xy^2+8x=0[/mm]
FRED
> ich habe hier nur ein blat vor mir liegen und die
> ergebnisse(nullstellen)
>
> es geht in der aufgabe darum, mit der hessematrix die
> extreme etc. herauszufinden.
>
> dazu muss man ja erstmal einmal nach x und nach y ableiten
> um herauszufinden, welche x und y-werte wir für die
> hessematrix überhaupt haben.
>
> ich habe bisher nur (0;0) finden können.
>
> nun steht das als tipp...
>
> wenn x=0 und [mm]y\not=0[/mm] ..... dann muss ich "irgendwas"
> irgendwo einsetzen und nach "irgendwas" auflösen...
>
> allerdings wenn x=0 ist und [mm]y\not=0[/mm] ist, kann ich ja nicht
> einfach in:
>
> [mm]2x(-4x^2-y^2+4)=0[/mm]
> [mm]2y(-16x^2-4y^2+1)=0[/mm]
>
> einsetzen ... ?!?
>
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