Einführung: Ergebismenge Omega < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie für die folgenden Zufallsexperimente jeweis eine passende Ergebnismenge Omega an.
(a) gleichzeitiges Ziehen von zwei Kugeln aus einem Säckchen mit fünf unterscheidbaren Kugeln.
(b) gleichzeitiges Werfen von drei unterscheidbaren 2-Euro-Münzen
(c) dreimaliges Werfen einer 1-Euro-Münze
(d) gleichzeitiges Werfen von drei nicht unterscheidbaren 2-Euro-Münzen |
(a) [mm] \{11,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45\}
[/mm]
"gleichzeitig" bedeutet hier: "ohne Zurücklegen", das bedeutet: 33, ... nicht möglich
oder bedeutet "gleichzeitig" hier: die Reihenfolge ist egal ?
Was bedeutet es hier, dass die fünf Kugeln unterscheidbar sind?
(b) k = Kopf, z = Zahl
[mm] \{kkk,kkz,kzk,zkk,kzz,zkz,zzk,zzz\} [/mm] gleichzeitig: d.h. ohne Zurücklegen
unterscheidbar: mit Reihenfolge
(c) k = Kopf, z = Zahl
[mm] \{kkk,kkz,kzk,zkk,kzz,zkz,zzk,zzz\} [/mm] mit Reihenfolge - ohne Zurücklegen
bei mir ist (c) = (b)
(d) k = Kopf, z = Zahl
[mm] \{kkk,kkz,kzz,zzz\} [/mm] nicht unterscheidbar: ohne Reihenfolge
gleichzeitig: ohne Zurücklegen/Wiederholung
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Fr 21.02.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
wenn Du noch aus Deiner ersten Ergebnismenge die "11" rausnimmst, dann siehst die Sache gut aus. Und wie Du bereits geschrieben hast, "gleichzeitig" impliziert in diesem Fall "ohne Zurücklegen". Das muss nicht immer so sein, wie Du bereits richtig vermutest hast. Es hängt von der Beschreibung des Zufallsexperimentes ab und diese ist nicht immer so eindeutig, wie man es sich für die spätere Rechnung wünschen würde.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | Aufgabe
Geben Sie für die folgenden Zufallsexperimente jeweis eine passende Ergebnismenge Omega an.
(a) gleichzeitiges Ziehen von zwei Kugeln aus einem Säckchen mit fünf unterscheidbaren Kugeln.
(b) gleichzeitiges Werfen von drei unterscheidbaren 2-Euro-Münzen
(c) dreimaliges Werfen einer 1-Euro-Münze
(d) gleichzeitiges Werfen von drei nicht unterscheidbaren 2-Euro-Münzen |
(a) {12 , 13 , 14 , 15 , 23 , 24 , 25 , 34 , 35 , 45}
"gleichzeitig" bedeutet hier: "ohne Zurücklegen", das bedeutet: 33, ... nicht möglich
oder bedeutet "gleichzeitig" hier: die Reihenfolge ist egal ?
Was bedeutet es hier, dass die fünf Kugeln unterscheidbar sind?
Neue Frage dazu:
Das Ergebnis ist "gleichzeitig" und „die fünf Kugeln sind unterscheidbar“.
Mir ist dabei nicht klar: bedeutet "gleichzeitig" hier: die Reihenfolge wird nicht durch die Wurfreihenfolge festgelegt?
Wird durch „die fünf Kugeln sind unterscheidbar“ nicht eine Reihenfolge festgelegt, wie auch in (b)?
Sodass dann meine Lösung falsch wäre?
(b) k = Kopf, z = Zahl
{kkk , kkz , kzk , zkk , kzz , zkz , zzk , zzz} gleichzeitig: d.h. ohne Zurücklegen
unterscheidbar: mit Reihenfolge
Neue Frage dazu:
(Fortsetzung der obigen neuen Frage) Oder wie kommt es, dass bei (a) und bei (b) „gleichzeitig“ und „unterscheidbar“ steht, aber in (a) ist es ohne Reihenfolge, in (b) ist es mit Reihenfolge? Oder woran liegt das sonst?
(c) k = Kopf, z = Zahl
{kkk , kkz , kzk , zkk , kzz , zkz , zzk , zzz} mit Reihenfolge - ohne Zurücklegen
bei mir ist (c) = (b)
Neue Frage dazu:
Meine Angabe hier: „ohne Zurücklegen“ hat hier wahrscheinlich gar keinen Sinn? Oder doch?
(d) k = Kopf, z = Zahl
{kkk , kkz, kzz , zzz} nicht unterscheidbar: ohne Reihenfolge
gleichzeitig: ohne Zurücklegen/Wiederholung
Neue Frage dazu:
gleichzeitig: Angabe oben falsch, stattdessen (wie bei (a)):
die Reihenfolge wird nicht durch die Wurfreihenfolge festgelegt?
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Hiho,
> Das Ergebnis ist "gleichzeitig" und „die fünf Kugeln
> sind unterscheidbar“.
> Mir ist dabei nicht klar: bedeutet "gleichzeitig"
> hier: die Reihenfolge wird nicht durch die Wurfreihenfolge
> festgelegt?
das hängt von deiner Modellierung ab.
Du kannst "gleichzeitiges Ziehen" modellieren als "gleichzeitiges Ziehen mit Berücksichtigung der Reihenfolge" und als "gleichzeitiges Ziehen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge".
Das ist grundsätzlich auch gar nicht problematisch, unterscheiden werden sich beide Modelle dann aber in den Auftrittswahrscheinlichkeiten.
Ein einfaches Beispiel: Du hast zwei Kugeln 1 und 2 in einer Urne und ziehst beide gleichzeitig mit beiden Händen.
Du kannst nun die Kugeln der Größe nach sortiert aufschreiben (wie du es in deinem Beispiel bei a) auch getan hast), dein Modell bestünde dann aus einem sicheren Ereignis, nämlich [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(1,2)\}$.
[/mm]
Dadurch, dass die Kugeln der (Nummern)Größe nach sortiert werden vor dem Aufschreiben, wäre das ein Modell ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Ich könnte mich aber auch entscheiden, die Kugel in meiner linken Hand immer zuerst aufzuschreiben.
Bei diesem Modell hätte ich dann plötzlich zwei mögliche Ausgänge und bekäme [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (1,2), (2,1) \}$.
[/mm]
Man hätte durch den "linke Hand - rechte Hand" Regel, eine implizite Reihenfolge festgelegt.
Für welches Modell man sich entscheidet, ist beim gegebenem Experiment jedem selbst überlassen. Man sollte vorab überlegen, ob man die zusätzliche Detailtiefe benötigt oder nicht.
> Neue Frage dazu:
> (Fortsetzung der obigen neuen Frage) Oder wie kommt es, dass bei (a) und bei (b) „gleichzeitig“ und „unterscheidbar“ steht, aber in (a) ist es ohne Reihenfolge, in (b) ist es mit Reihenfolge? Oder woran liegt das sonst?
Um die Verwirrung komplett zu machen: ALLES IST RICHTIG 
Du kannst das gleichzeitige Werfen dreier 2-Euro-Münzen ja auf zwei Weisen modellieren:
1.) Urne mit 6 Kugeln, davon 3 rot und 3 grün, einmaliges gleichzeitiges Ziehen dreier Kugeln.
2.) Urne mit zwei Kugeln, eine rot und eine grün, dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen.
Beides ist gleichwertig.
Das liegt einfach daran, dass das dreimalige Werfen einer Zwei-Euro-Münze eigentlich dasselbe Experiment ist, wie das einmalige Werfen dreier Zwei-Euro-Münzen (sofern die Münze fair ist).
Wenn man die Gleichwertigkeit der beiden Dinge noch nicht erkannt hat, so entspricht 1.) eher dem gleichzeitigen Werfen dreier Münzen (weil drei Kugeln gezogen werfen) und 2.) eben dem dreimaligen Werfen einer Münze.
> Meine Angabe hier: „ohne Zurücklegen“ hat hier
> wahrscheinlich gar keinen Sinn? Oder doch?
"Zurücklegen" ist für Urnenmodelle gedacht.
Wenn du es klarer machen willst, solltest du etwas schreiben wie: Ein wiederholter Münzwurf entspricht einem Urnenexperiment mit zwei unterscheidbaren Kugeln mit Zurücklegen.
Vielleicht haben sich die übrigen Fragen bis hierhin ja erübrigt.
Gruß,
Gono
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