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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mi 11.04.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Geben sie einen endlichen Körper und einen unendlichen Körper an, sodass die Einheitengruppe eine Untergruppe besitzt, die isomorph zu [mm] \IZ/31\IZ [/mm] ist. |
Hallo,
hier mal meine Lösung.
Der endliche Körper [mm] \IF_{2^5} [/mm] hat 32 Elemente. Also hat die Einheitengruppe 31 Elemente. Da es nur eine Gruppe der Ordnung 31 gibt, ist die Einheitengruppe isomorph zu [mm] \IZ/31\IZ.
[/mm]
[mm] \IZ/31\IZ [/mm] ist offensichtlich eine Untergruppe von [mm] \IZ/31\IZ.
[/mm]
Das müsste passen, da war ich mir bei der Lösung eigentlich 100% sicher 
Aber nun zum unendlichen Körper.
Betrachte [mm] \IQ(\zeta) [/mm] mit [mm] \zeta [/mm] = [mm] e^{2\pi i / 31} [/mm] als primitive 31. Einheitswurzel.
Dann ist [mm] \zeta [/mm] eine Einheit in [mm] \IQ(\zeta) [/mm] und es gilt [mm] ord(<\zeta>) [/mm] = 31
Also gibt es eine Untergruppe der Ordnung 31.
Stimmt das?!
Danke
Grüße Tina
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 11.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben sie einen endlichen Körper und einen unendlichen
> Körper an, sodass die Einheitengruppe eine Untergruppe
> besitzt, die isomorph zu [mm]\IZ/31\IZ[/mm] ist.
>
> hier mal meine Lösung.
>
> Der endliche Körper [mm]\IF_{2^5}[/mm] hat 32 Elemente. Also hat
> die Einheitengruppe 31 Elemente. Da es nur eine Gruppe der
> Ordnung 31 gibt, ist die Einheitengruppe isomorph zu
> [mm]\IZ/31\IZ.[/mm]
> [mm]\IZ/31\IZ[/mm] ist offensichtlich eine Untergruppe von
> [mm]\IZ/31\IZ.[/mm]
>
> Das müsste passen, da war ich mir bei der Lösung
> eigentlich 100% sicher
>
> Aber nun zum unendlichen Körper.
>
> Betrachte [mm]\IQ(\zeta)[/mm] mit [mm]\zeta[/mm] = [mm]e^{2\pi i / 31}[/mm] als
> primitive 31. Einheitswurzel.
>
> Dann ist [mm]\zeta[/mm] eine Einheit in [mm]\IQ(\zeta)[/mm] und es gilt
> [mm]ord(<\zeta>)[/mm] = 31
>
> Also gibt es eine Untergruppe der Ordnung 31.
>
> Stimmt das?!
Ja, das stimmt so.
LG Felix
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