Einheitsgruppe / Eukl. Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \omega := \bruch{1}{2} ( 1 + \wurzel{-3} ) \in \mathbb C [/mm].
Zeigen Sie, dass [mm] \mathbb Z \left[ \omega \right] := \{ a + b\omega \ | \ a,b \in \mathbb Z \} [/mm] ein Unterring ist.
Bestimmen Sie die Eiheitsgruppe von [mm] \mathbb Z \left[ \omega \right]
[/mm] und zeigen Sie, dass [mm] \mathbb Z \left[ \omega \right] [/mm] ein euklidischer Ring ist.
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Guten Abend alle zusammen!
Ich beschäftige mich hier mit dieser Aufgabe und habe beim Zeigen des Unterrings keinerlei Probleme, aber bei dem Rest leider!
Ich weiß schon nicht wirklich, wie ich die Einheitsgruppe bestimmen soll.
Ich weiß, dass ich hier Elemente [mm] \epsilon [/mm] aus [mm] \mathbb Z \left[ \omega \right] = \{a + b ( \bruch{1}{2} ( 1 + \wurzel{-3} ) \ | \ a,b \in\mathbb Z \} [/mm] suche für die es ein [mm] r \in \mathbb Z \left[ \omega \right] [/mm] gibt mit [mm] r \cdot \epsilon = 1 [/mm]. Aber wie finde ich diese?
Und für den Aufgabenteil , wo ich zeigen soll, dass es sich hier um einen Euklidischen Ring handelt, muss ich doch erst zeigen, dass es 1. ein Integritätsring ist und dann eine Norm drauf haben, von der ich zeigen soll, dass diese euklidisch ist, richtig?
Nur welche Norm ist das?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mi 01.10.2008 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]\omega := \bruch{1}{2} ( 1 + \wurzel{-3} ) \in \mathbb C [/mm].
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\mathbb Z \left[ \omega \right] := \{ a + b\omega \ | \ a,b \in \mathbb Z \}[/mm]
> ein Unterring ist.
> Bestimmen Sie die Eiheitsgruppe von [mm]\mathbb Z \left[ \omega \right]
[/mm]
> und zeigen Sie, dass [mm]\mathbb Z \left[ \omega \right][/mm] ein
> euklidischer Ring ist.
Guten Morgen!
> Ich beschäftige mich hier mit dieser Aufgabe und habe beim
> Zeigen des Unterrings keinerlei Probleme, aber bei dem Rest
> leider!
>
> Ich weiß schon nicht wirklich, wie ich die Einheitsgruppe
> bestimmen soll.
> Ich weiß, dass ich hier Elemente [mm]\epsilon[/mm] aus [mm]\mathbb Z \left[ \omega \right] = \{a + b ( \bruch{1}{2} ( 1 + \wurzel{-3} ) \ | \ a,b \in\mathbb Z \}[/mm]
> suche für die es ein [mm]r \in \mathbb Z \left[ \omega \right][/mm]
> gibt mit [mm]r \cdot \epsilon = 1 [/mm]. Aber wie finde ich diese?
Mein Vorschlag wäre, daß du dir die Elemente dieses Ringes als Punkte in die Gaußsche Zahlenebene zeichnest. Da die Einheiten die Norm 1 haben, fällt dir vielleicht etwas auf und du kannst sie erraten.
> Und für den Aufgabenteil , wo ich zeigen soll, dass es sich
> hier um einen Euklidischen Ring handelt, muss ich doch erst
> zeigen, dass es 1. ein Integritätsring ist und dann eine
> Norm drauf haben, von der ich zeigen soll, dass diese
> euklidisch ist, richtig?
> Nur welche Norm ist das?
Die Norm ist klar (hier jedenfalls), da es sich um komplexe Zahlen handelt, was du zeigen mußt, ist, daß es einen Euklidischen Algorithmus gibt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich habe als Tipp bekommen mir [mm]\omega [/mm] als primitive 6-te
Einheitswurzel anzuschauen..
O.k also ich mache den Ansatz [mm] \omega^6= 1 [/mm]. Aber was bringt mir denn das?
Und was die Norm betrifft, kenne ich nur die Norm auf [mm] \mathbb Z \left[i \right] [/mm], die einer komplexen Zahl [mm] z = a+ bi [/mm]
[mm] N(z) = a^2 + b^2 [/mm] zuordnet. Aber wir sind hier nicht in
[mm] \mathbb Z \left [i \right] [/mm]...
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
für $z = a + ib [mm] \in \mathbb{Z}[i]$ [/mm] ist doch $N'(z) = [mm] |z|^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$. [/mm] naheliegenderweise könnte man doch hier dann für $w = a + [mm] \omega [/mm] b [mm] \in \mathbb{Z}[\omega]$ [/mm] einfach $N(w) = [mm] |w|^2$ [/mm] wählen. wie Dieter schon schrieb: mal' dir mal ein bild. wo liegt [mm] $\omega$? [/mm] und wie sehen dann alle elemente von [mm] $\mathbb{Z}[\omega]$ [/mm] aus? um zu zeigen, dass man zu $f, g$ immer ein $q, r$ mit $f = qg + r$ mit $N(r) < N(g)$ oder $r = 0$ findet kann man dann anhand dieses bildes ähnlich vorgehen, wie bei [mm] $\mathbb{Z}[i]$. [/mm] davon werdet ihr ja vermutlich gezeigt habe, dass es sich um einen euklidischen ring handelt.
grüße
andreas
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Hallo,
vor einiger Zeit hattest du doch eine Norm auf [mm] $\mathds{Z}[i]$, [/mm] diese hier ist so ähnlich.
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