Einheitsvektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 08.04.2009 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zu den Vektoren [mm] \vec{a_{i}} [/mm] den zugehörigen normierten Einheitsvektor [mm] \vec{e_{i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|\vec{a_{i}}|} \vec{a_{i}} [/mm] :
a) [mm] \vec{a_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
b) [mm] \vec{a_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ -2}
[/mm]
c) [mm] \vec{a_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ a \\ 0}
[/mm]
d) [mm] \vec{a_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}}} [/mm] |
Die Ergebnisse hierzu sind wohl folgende:
a) [mm] \vec{e_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
b) [mm] \vec{e_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
c) [mm] \vec{e_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
d) [mm] \vec{e_{4}} [/mm] = [mm] \vec{a_{4}}
[/mm]
Aber kann mir bitte jemand kurz erklären wie ich zu diesen Vektoren komme und was der Einheitsvektor genau zu sagen hat? Ich wäre euch sehr dankbar.
Vielen Dank.
Grüße Jojo1484
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ein Einheitsvektor zeichnet sich dadurch aus, dass er in die selbe Richtung wie dein Vektor [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] zeigt, allerdings die Länge 1 hat. D.h. wenn man [mm] $|\vec{a}|$ [/mm] berechnet, kommt 1 heraus.
Die Rechenanweisung steht da ja eigentlich auch schon: [mm] $\vec{e_i}=\frac{1}{|\vec{a_i}|}\vec{a_i}$, [/mm] was heißt, dass der Einheitsvektor ein Vielfaches von deinem Vektor [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] ist, also in die selbe Richtung zeigt, aber die Länge 1 hat.
> Bestimmen Sie zu den Vektoren [mm]\vec{a_{i}}[/mm] den zugehörigen
> normierten Einheitsvektor [mm]\vec{e_{i}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{|\vec{a_{i}}|} \vec{a_{i}}[/mm] :
>
> a) [mm]\vec{a_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> b) [mm]\vec{a_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -2 \\ -2}[/mm]
>
> c) [mm]\vec{a_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ a \\ 0}[/mm]
>
> d) [mm]\vec{a_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}}}[/mm]
>
> Die Ergebnisse hierzu sind wohl folgende:
>
> a) [mm]\vec{e_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Das passt, kann man ja auch sofort nachrechnen.
>
> b) [mm]\vec{e_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
Die Zeigen zwar in die selbe Richtung, die Länge ist aber nicht 1: [mm] $|\vec{e_2}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\not=1$, [/mm] das passt nicht.
>
> c) [mm]\vec{e_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Auch hier passt die Länge nicht.
>
> d) [mm]\vec{e_{4}}[/mm] = [mm]\vec{a_{4}}[/mm]
>
> Aber kann mir bitte jemand kurz erklären wie ich zu diesen
> Vektoren komme und was der Einheitsvektor genau zu sagen
> hat? Ich wäre euch sehr dankbar.
Also, nimm dir am besten nochmal alle Vektoren vor. Rechne den Betrag des Vektors aus, der ja so definiert ist: [mm] $\left|\pmat{a\\b\\c}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. [/mm] Wenn du den hast, nimmst du dir wieder den Vektor [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] her, und teilst durch seine Länge. Dann hast du den Einheitsvektor von [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] raus.
LG
Kroni
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> Vielen Dank.
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> Grüße Jojo1484
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