Einheitswurzel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Fr 26.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
| Aufgabe | Gegeben sei die komplexe Zahl [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}( \wurzel{6} [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] + i( [mm] \wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] )).
a) Zeigen Sie, dass [mm] \alpha [/mm] eine Einheitswurzel ist.
b) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ. [/mm]
c) Zeigen Sie: [mm] \IQ(\alpha) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{2},\wurzel{3}, [/mm] i )
d) Bestimmen Sie [mm] \IQ(\alpha) \cap \IR [/mm] |
Hallo zusammen!!
Diese Aufgabe habe ich schon zur Hälfte gelöst:
a) man muss hier nur zeigen, dass der Betrag dieser komplaxen Zahl [mm] \alpha [/mm] 1 ist, dann handelt es sich um eine Einheitswurzel.
Also: 4* [mm] |\alpha| [/mm] = Wurzel[( [mm] \wurzel{6} [/mm] + [mm] \wurzel{2} )^2 [/mm] + ( [mm] \wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2} )^2 [/mm] ] = [mm] \wurzel{16} [/mm]
=> [mm] |\alpha|=1 [/mm] => [mm] \alpha [/mm] ist Einheitswurzel.
b)MinPol von [mm] \alpha [/mm] ist [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] =0.
c) Hier weiß ich nicht, wie ich elegant an so was ran gehen muss. Ich kann nur sagen, dass [mm] \wurzel{6} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] ist, also [mm] \wurzel{2} [/mm] , [mm] \wurzel{3} [/mm] , und i kommen in [mm] \alpha [/mm] vor, also ist [mm] \IQ(\alpha) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{2},\wurzel{3}, [/mm] i ).
d) hier weiß ich nun wirklich nicht, wie das aussehen soll.
Freue mich, wenn jemand sich meldet, der sich damit auskennt.
Schönes Wochenende wünsch ich euch...
Gruß
Julia
Warum soll ich immer diese Cross-Postings akzeptieren??
Ich dachte es ist nur einmalig.
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Nun der Pasus für einen Erstposter:
Ich akzeptiere die Zusicherung bzgl. Cross-Postings.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Fr 26.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Hab grad nur kurz Zeit...
> Gegeben sei die komplexe Zahl [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}( \wurzel{6}[/mm]
> + [mm]\wurzel{2}[/mm] + i( [mm]\wurzel{6}[/mm] - [mm]\wurzel{2}[/mm] )).
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\alpha[/mm] eine Einheitswurzel ist.
> b) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
> c) Zeigen Sie: [mm]\IQ(\alpha)[/mm] = [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{2},\wurzel{3},[/mm] i
> )
> d) Bestimmen Sie [mm]\IQ(\alpha) \cap \IR[/mm]
> Hallo zusammen!!
> Diese Aufgabe habe ich schon zur Hälfte gelöst:
> a) man muss hier nur zeigen, dass der Betrag dieser
> komplaxen Zahl [mm]\alpha[/mm] 1 ist, dann handelt es sich um eine
> Einheitswurzel.
Nein, das stimmt nicht, es gibt Gegenbeispiele dafuer!
> Also: 4* [mm]|\alpha|[/mm] = Wurzel[( [mm]\wurzel{6}[/mm] + [mm]\wurzel{2} )^2[/mm]
> + ( [mm]\wurzel{6}[/mm] - [mm]\wurzel{2} )^2[/mm] ] = [mm]\wurzel{16}[/mm]
> => [mm]|\alpha|=1[/mm] => [mm]\alpha[/mm] ist Einheitswurzel.
>
> b)MinPol von [mm]\alpha[/mm] ist [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] =0.
Das glaube ich nicht. Insbesondere wuerde dies zeigen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] keine Einheitswurzel ist! (Da [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pm \frac{1}{2}$ [/mm] sein muesste...)
Rechne doch mal [mm] $\alpha^2$, $\alpha^3$, $\alpha^4$, [/mm] ... aus; irgendwann muss da $1$ rauskommen. Damit hast du schonmal (a) gezeigt. Dann musst du versuchen das Polynom [mm] $x^n [/mm] - 1$ (mit $n$ passend) zu faktorisieren; damit bekommst du das Minimalpolynom.
> c) Hier weiß ich nicht, wie ich elegant an so was ran gehen
> muss. Ich kann nur sagen, dass [mm]\wurzel{6}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel{3}[/mm] ist, also [mm]\wurzel{2}[/mm] , [mm]\wurzel{3}[/mm] , und i kommen
> in [mm]\alpha[/mm] vor, also ist [mm]\IQ(\alpha)[/mm] = [mm]\IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel{2},\wurzel{3},[/mm] i ).
Damit hast du nur [mm] $\IQ(\alpha) \subseteq \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, [/mm] i)$. Du musst jetzt noch [mm] $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ [/mm] und $i$ durch [mm] $\alpha$ [/mm] darstellen. Kleiner Hinweis: da [mm] $\alpha$ [/mm] eine Einheitswurzel ist, ist [mm] $\overline{\alpha} [/mm] = [mm] \alpha^{-1} \in \IQ(\alpha)$. [/mm] Was ist [mm] $\alpha \pm \overline{\alpha}$?
[/mm]
> d) hier weiß ich nun wirklich nicht, wie das aussehen
> soll.
Also [mm] $\sqrt{2}, \sqrt{3} \in \IQ(\alpha) \cap \IR$, [/mm] womit [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \subseteq \IQ(\alpha) \cap \IR$ [/mm] ist. Wie ist der Index von [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ [/mm] in [mm] $\IQ(\alpha)$? [/mm] Sprich, kann es Zwischenkoerper zwischen [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ [/mm] und [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] geben? Kann [mm] $\IQ(\alpha) \subseteq \IR$ [/mm] sein?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Fr 26.01.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Julia,
hab auch nur kurz Zeit...
> Gegeben sei die komplexe Zahl [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}( \wurzel{6}[/mm]
> + [mm]\wurzel{2}[/mm] + i( [mm]\wurzel{6}[/mm] - [mm]\wurzel{2}[/mm] )).
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\alpha[/mm] eine Einheitswurzel ist.
> a) man muss hier nur zeigen, dass der Betrag dieser
> komplaxen Zahl [mm]\alpha[/mm] 1 ist, dann handelt es sich um eine
> Einheitswurzel.
> Also: 4* [mm]|\alpha|[/mm] = Wurzel[( [mm]\wurzel{6}[/mm] + [mm]\wurzel{2} )^2[/mm]
> + ( [mm]\wurzel{6}[/mm] - [mm]\wurzel{2} )^2[/mm] ] = [mm]\wurzel{16}[/mm]
> => [mm]|\alpha|=1[/mm] => [mm]\alpha[/mm] ist Einheitswurzel.
So nicht, hat Felix schon gesagt.
Aber kennst du die Polardarstellung einer komplexen Zahl? Wenn ja, nimm sie mal zu Hilfe. dann findest du [mm] \alpha^{24} [/mm] = 1.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 26.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
Hallo ihr beide!
na da bin ich doch total enttäuscht, hab mich grade gefruet, dass ich wenigstens etwas selbs gemacht habe...
Die Polardarstellung einer komplexen Zahl kenn ich nicht, hab sie mir erst jetzt im Internet angesehen.
Also Re( [mm] \alpha [/mm] )= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] *( [mm] \wurzel{6} [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] ) und Im( [mm] \alpha [/mm] )= [mm] \bruch{1}{4}( \wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] ), nun brauche ich r und den Winkel [mm] \beta [/mm] für die Polardarstellung von [mm] \alpha [/mm] =>
[mm] \alpha [/mm] = r*[cos( [mm] \beta [/mm] ) + i*sin( [mm] \beta [/mm] ) ] ; r ist der Betrag von [mm] \alpha [/mm] , und dieser ist gleich 1.
Nun wegen [mm] \bruch{1}{4} [/mm] *( [mm] \wurzel{6} [/mm] + [mm] \wurzel{2} )=cos(\beta [/mm] ) und [mm] \bruch{1}{4} [/mm] *( [mm] \wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2} )=sin(\beta [/mm] ) muss ich [mm] \beta [/mm] finden. In einem Buch fand ich, dass [mm] \beta [/mm] = [mm] arccos(Re(\alpha)/ [/mm] r) für Im( [mm] \alpha) \ge [/mm] 0. Ich vermute mal, dass ( [mm] \wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 0 ist, nun ist [mm] \beta [/mm] = [mm] arccos(\wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] ) zu bestimmen,
und dann aus 1=( [mm] \alpha )^n [/mm] = [mm] r^n [/mm] * e^(n*i* [mm] \beta [/mm] ) => 1= e^(n*i* [mm] \beta [/mm] ) n bestimmen. Richtig bis jetzt?
Eins was ich nicht verstehe, ist dies:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}( \wurzel{6} [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] + i* [mm] (\wurzel{6} [/mm] - [mm] \wurzel{2})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}* \wurzel{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}* \wurzel{2} [/mm] + i* [mm] \bruch{1}{4}* \wurzel{6} [/mm] - i* [mm] \bruch{1}{4}* \wurzel{2} [/mm] ,
dann ist ( [mm] \alpha)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] *6 + [mm] \bruch{1}{16}*2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] *6 + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] *2 = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ;
( [mm] \alpha)^4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] .... zu 1 kommt man hier niemals! Wo ist mein Fehler?
Zu meinem MinPol:
Jetzt sehe ich es ein, dass mein MinPol falsch ist, aber wenn ich so überlege, dann muss ich nicht viel machen. ich würde sagen, dass MinPol für alle Einheitswurzel bis auf faktor n glich ist, nämlich [mm] x^n [/mm] -1=0 min geeignetem n, (in diesem Fall ist n=24, wie der Dieter schon gesagt hat). Ist das richtig so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Fr 26.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
> Eins was ich nicht verstehe, ist dies:
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}( \wurzel{6}[/mm] + [mm]\wurzel{2}[/mm] + i*
> [mm](\wurzel{6}[/mm] - [mm]\wurzel{2}))[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}* \wurzel{6}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4}* \wurzel{2}[/mm] + i* [mm]\bruch{1}{4}* \wurzel{6}[/mm] - i*
> [mm]\bruch{1}{4}* \wurzel{2}[/mm] ,
> dann ist ( [mm]\alpha)^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{16}[/mm] *6 + [mm]\bruch{1}{16}*2[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{16}[/mm] *6 + [mm]\bruch{1}{16}[/mm] *2 = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ;
> ( [mm]\alpha)^4[/mm] = [mm]\bruch{1}{16}[/mm] .... zu 1 kommt man hier
> niemals! Wo ist mein Fehler?
Du verrechnest Dich schlicht und ergreifend. Richtig wäre
[mm] $\begin{array}{rcl}
\alpha^2 &=& \Bigl( \frac14 ((\sqrt6 + \sqrt2) + i(\sqrt6 - \sqrt2)) \Bigr)^2 \\
&=& \frac1{16} \Bigl( (\sqrt6 + \sqrt2)^2 + 2i\cdot(\sqrt6 + \sqrt2)(\sqrt6 - \sqrt2) + i^2\cdot(\sqrt6 - \sqrt2)^2\Bigr) \\
&=& \frac1{16} \Bigl( (6 + 2\sqrt6\sqrt2 + 2) + 2i\cdot(6 - 2) - (6 - 2\sqrt6\sqrt2 + 2) \Bigr)\\
&=& \frac1{16} \Bigl( 4\sqrt6\sqrt2 + 8i) \\
&=& \frac14\sqrt6\sqrt2 + \frac12i
\end{array}$.
[/mm]
(Nur zur Erinnerung [mm] $(a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2$ [/mm] (Binomi) und nicht [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2$).
[/mm]
Hoffe, das hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 27.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
Hallo,
die binomischen Formeln sind mir natürlich bekannt, aber ausklammern kann man doch auch. Ich bin mir sicher, dass ich richtig ausgeklammert habe, nur dass ich das nicht durfte, verstehe ich nicht. Ich sehe, dass es zu zwei verschiedenen Lösungen führt, nur verstehe ich nicht, warun meine nicht die richtige ist.
Muss man für komplexe Zahlen nur deren Rechenregelen beachten und keine anderen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 27.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo nochmal,
> Hallo,
> die binomischen Formeln sind mir natürlich bekannt, aber
> ausklammern kann man doch auch. Ich bin mir sicher, dass
> ich richtig ausgeklammert habe, nur dass ich das nicht
> durfte, verstehe ich nicht.
Naja, [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \frac14\cdot\sqrt6 [/mm] + [mm] \frac14\cdot\sqrt2 [/mm] + [mm] i\cdot\frac14\cdot\sqrt6 [/mm] - [mm] i\cdot\frac14\cdot\sqrt2$ [/mm] ist ja auch noch absolut richtig. Das darfst Du auch immer machen. Aber dann quadrierst Du die Terme anscheinend einzeln, was Du nicht darfst. Es gilt für vier komplexe Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d [mm] \in \IC$
[/mm]
[mm] $\displaystyle(a+b+c+d)^2 [/mm] = [mm] a^2+2ab+2ac+2ad+b^2+2bc+2bd+c^2+2cd+d^2.$
[/mm]
Und das ist im allgemeinen eben ungleich [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2$. [/mm] Nimm zum Beispiel $a = b = c = d = 1$. Dann ist $(a + b + c + [mm] d)^2 [/mm] = [mm] 4^2 [/mm] = 16$ und [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] = 1+1+1+1 = 4$.
(Ich glaube aber, der Rechenweg über die Binomischen Formeln oder direkt über die Definition der komplexen Multiplikation sind etwas einfacher nachzuvollziehen als die obige Formel).
> Ich sehe, dass es zu zwei
> verschiedenen Lösungen führt, nur verstehe ich nicht, warun
> meine nicht die richtige ist.
> Muss man für komplexe Zahlen nur deren Rechenregelen
> beachten und keine anderen?
Ich verstehe nicht genau, was Du meinst. Die komplexen Zahlen bilden einen Körper. Das bedeutet, Du hast in etwa dieselben Regeln wie bei reellen oder rationalen Zahlen. Du mußt beim Rechnen eigentlich nur [mm] $i^2 [/mm] = - 1$ beachten. Die Formel für $(a+b+c+d)(a+b+c+d)$ oben kriegst Du mit dem Distributivgesetz.
Hoffe, ich konnte helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 So 28.01.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Julia!
Das gegebene [mm] \alpha [/mm] hat in Polarkoordianten die Darstellung [mm] \alpha [/mm] = cos15° + isin15° und in Exponentialform [mm] \alpha [/mm] = [mm] e^{\bruch{i\pi}{12}}
[/mm]
(Das habe ich mit dem Taschenrechner gefunden, wofür ich alle Kollegen vom Fach um Entschuldigung bitte.)
In der Exponentialform kann man besonders leicht potenzieren:
[mm] \alpha^{n} [/mm] = [mm] e^{n\bruch{i\pi}{12}}, [/mm] woraus man sofort meine Behauptung erkennt.
Du müßtest das natürlich rechnerisch nachweisen, des wegen schlage ich vor, daß du ([mm]\alpha^{3}[/mm][mm] )^{2} [/mm] ausrechnest, das Ergebnis sollte dir bekannt vorkommen.
Wenn wir das geklärt haben, können wir das Minimalpolynom angreifen. Die 24. Einheitswurzeln bilden eine zyklische Gruppe, die von [mm] \alpha [/mm] erzeugt wird. Geometrisch gesprochen sind das die Eckpunkte des regelmäßigen 24-Ecks.
In diesem 24-Eck bilden die Vielfachen von [mm] \alpha^{2} [/mm] ein regelmäßiges 12-Eck. Das sind die Nullstellen von [mm] X^{12} [/mm] - 1 = 0. Dann hast du noch ein regelmäßiges 8-Eck, die Vielfachen von [mm] \alpha^{3}. [/mm] Von den Eckpunkten liegen die Vielfachen von [mm] \alpha^{6} [/mm] auch auf dem 12-Eck, die anderen 4 sind die Nullstellen von [mm] X^{4} [/mm] + 1 = 0. Die Eckpunkte, die jetzt noch übrig sind, sind gerade die erzeugenden Elemente (8 Stück). Das zugehörige Polynom erhältst du z. B., indem du
[mm] (X^{24} [/mm] - 1) : [mm] (X^{12} [/mm] - [mm] 1)*(X^{4} [/mm] + 1) = [mm] X^{8} [/mm] - [mm] X^{4} [/mm] + 1 ausrechnest.
Alle anderen Teilaufgaben müßtest du aus dem Beitrag von Felix beantworten können.
Einen schönen Tag noch
Dieter
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