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Hallösche!
Es sei f eine ganze Funktion, deren Einschränkung f|R auf die reelle Achse reellwertig ist. Zeigen Sie, dass dann die Formel (f(z))quer=f(zquer) für alle z Element aus C gilt.
(Also einmal ist das Querzeichen über f(z) und einmal nur über z)
Erstens weiß ich nicht wirklich, was mit der Einschränkung von f gemeint ist und zweitens, wie der Beweis überhaupt funktionieren soll...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: emath.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Nimothiel,
> Es sei f eine ganze Funktion, deren Einschränkung f|R auf
> die reelle Achse reellwertig ist. Zeigen Sie, dass dann die
> Formel (f(z))quer=f(zquer) für alle z Element aus C gilt.
Also: [mm] $\overline{f(z)}=f(\overline{z})$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IC$
[/mm]
> (Also einmal ist das Querzeichen über f(z) und einmal nur
> über z)
> Erstens weiß ich nicht wirklich, was mit der Einschränkung
> von f gemeint ist
Das bedeutet, dass der Definitionsbereich auf die angegebene Menge [mm] ($\IR$) [/mm] eingeschränkt werden soll.
Hier also speziell in Formeln:
[mm] $f(z)\in\IR$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IR$
[/mm]
Umgangssprachlich: "Wenn man nur reelle Zahlen einsetzt, kommen auch nur reelle raus."
> und zweitens, wie der Beweis überhaupt
> funktionieren soll...
Hier gebe ich dir zunächst mal nur einen Tipp. Betrachte die Funktion
[mm] $g(z):=\overline{f(z)}-f(\overline{z})$ [/mm] für [mm] $z\in\IR$
[/mm]
und stelle dir selbst diese Fragen:
a) Welchen Wert hat g (auf der reellen Achse, da ist sie im Augenblick ja nur definiert)?
b) Wie würde eine holomorph fortgesetzte ganze Funktion [mm] $\overtilde{g}$ [/mm] aussehen?
c) Sind die reellen Zahlen eine diskrete Menge, oder haben die reellen Zahlen einen Häufungspunkt?
d) Ist dann die holomorphe Fortsetzung aus b) nach dem Identitätssatz eindeutig?
e) Welchen Wert hat [mm] $\overtilde{g}$ [/mm] dann für alle [mm] $z\in\IC$?
[/mm]
f) Was folgt daraus dann für [mm] $\overline{f(z)}$ [/mm] und [mm] $f(\overline{z})$?
[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: emath.de
![[]](/images/popup.gif) http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/3/17227.html?1119118189
Dort hast du ja schon eine andere Lösung erhalten, obwohl dort noch ein kleiner Fehler drinsteckt:
a) f muss nicht unbedingt eine endliche Summe sein (also ein Polynom), sondern ist im Allgemeinen eine unendliche Potenzreihe (das folgt aus dem Attribut "ganz")
b) Dann sollte man noch überlegen, ob sich die komplexe Konjugation so ohne weiteres auf die einzelnen Summanden niederschlägt.
Dann gefällt mir der dortige Beweis noch besser, da er einfacher ist, und er ist ohnehin verlangt, wenn Ihr den Identitätssatz für holomorphe Funktionen noch gar nicht hatttet 
Viele Grüße,
Marc
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