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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Fr 14.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Es sei A eine n x n- Matrix mit den Einträgen [mm] \IZ. [/mm] Zeigen Sie: Ax=b hat eine Lösung x [mm] \in \IZ^n [/mm] für alle [mm] b\in \IZ^n [/mm] genau dann, wenn det (A)= [mm] \pm [/mm] 1. |
Hallo,
es ist doch keine konkrete Matrix gegeben. Z sind ganze Zahlen. Wie kann ich zeigen dass Ax=b gilt??
Hat jemand einen Lösungsansatz für mich??
Bin über jeden Hinweis sehr dankbar.
Gruß
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Versuch mal herauszufinden, was dir die Determinante sagt... Sie Berechnet sich durch Addition und Multiplikation von Elementen aus Z, ist also selbst eine Zahl in Z.
Wenn Ax = b eine Lösung hat, so ist die Determinante nicht 0. Dann kannst du ausrechnen, wie die Determinante der Inversen ausschauen soll, die ebenfalls in Z liegt.
Da steht dann die Determinante von A im Nenner und 1 im Zähler, und das kann dann nur der fall sein, wenn die Determinante 1 oder -1 ist)
Das ist so ungefähr die Idee. ;)
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo Micha
besten Dank für deinen Tipp.
Du schreibst:
> Wenn Ax = b eine Lösung hat, so ist die Determinante nicht
> 0.
Woher nimmst du das?
> Dann kannst du ausrechnen, wie die Determinante der
> Inversen ausschauen soll, die ebenfalls in Z liegt.
Aber das ist ja mein Problem: Wie lautet denn die Determinante???
> Da steht dann die Determinante von A im Nenner und 1 im
> Zähler, und das kann dann nur der fall sein, wenn die
> Determinante 1 oder -1 ist)
Wieder die Frage: woher nimmst du das??
Bitte laß mich nicht dumm sterben.
Gruß didi_160
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Hallo!
> Du schreibst:
>
> > Wenn Ax = b eine Lösung hat, so ist die Determinante nicht
> > 0.
> Woher nimmst du das?
So was weiß man halt... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Das dürftest du in jedem Buch über Lineare Algebra finden, sollte auch in deinen Vorlesungsaufzeichnungn zu finden sein, und alternativ findest du es ![[]](/images/popup.gif) hier: "Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist."
> > Dann kannst du ausrechnen, wie die Determinante der
> > Inversen ausschauen soll, die ebenfalls in Z liegt.
> Aber das ist ja mein Problem: Wie lautet denn die
> Determinante???
Naja - da gibt es doch eine Formel für. Moment - wie war die noch:
[mm] 1=det(I)=det(A*A^{-1})=det(A^{-1})*det(A)
[/mm]
und damit:
[mm] \gdw det(A^{-1})=\bruch{1}{det (A)}
[/mm]
> > Da steht dann die Determinante von A im Nenner und 1 im
> > Zähler, und das kann dann nur der fall sein, wenn die
> > Determinante 1 oder -1 ist)
> Wieder die Frage: woher nimmst du das??
Ich glaube, das siehst du jetzt, nach obiger Formel, oder?
> Bitte laß mich nicht dumm sterben.
Dürfte jetzt nicht mehr der Fall sein...  Oder hast du noch Fragen?
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo bastiane,
besten Dank für deinen Beitrag.
Ich weiß jetzt mit deiner Unterstützung:
1. Wir haben ein LGS A*x=b in Matrixform.
2. A ist eine (n x n)-Matrix.
3. Wenn das LGS eine Lösung hat, dann ist det (A) [mm] \not= [/mm] 0.
____________________________________
Jetzt müssen wir das Pferd von hinten aufzäumen:
4. Laut Aufgabe gilt det(A) = [mm] \pm [/mm] 1.
5. Ich weiß det (E)=1
6. Ich weiß auch [mm] A*A^{-1} [/mm] = E
7. Damit gilt: 1= [mm] det(E)=det(A*A^{-1})= det(A)*det(A^{-1}) [/mm]
8. [mm] \gdw det(A^{-1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)}
[/mm]
_________________________________________
Bis hierher kann ich folgen. Aber was ich aus 8. für eine Schlußfolgerung ziehen soll verstehe ich ehrlich gesagt nicht.
Wie bekomme ich denn die Kurve zu "...A*x=b hat eine Lösung x [mm] \in \IZ^n [/mm] für alle b [mm] \in \IZ^n [/mm] "...oder dient das nur zur Irreführung????
Wie gesagt bastiane, ich möchte nicht dumm sterben.
Viele Grüße
didi_160
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Hallo nochmal!
> besten Dank für deinen Beitrag.
> Ich weiß jetzt mit deiner Unterstützung:
> 1. Wir haben ein LGS A*x=b in Matrixform.
> 2. A ist eine (n x n)-Matrix.
> 3. Wenn das LGS eine Lösung hat, dann ist det (A) [mm]\not=[/mm]
> 0.
> ____________________________________
> Jetzt müssen wir das Pferd von hinten aufzäumen:
> 4. Laut Aufgabe gilt det(A) = [mm]\pm[/mm] 1.
> 5. Ich weiß det (E)=1
> 6. Ich weiß auch [mm]A*A^{-1}[/mm] = E
> 7. Damit gilt: 1= [mm]det(E)=det(A*A^{-1})= det(A)*det(A^{-1})[/mm]
> 8. [mm]\gdw det(A^{-1})[/mm] = [mm]\bruch{1}{det(A)}[/mm]
> _________________________________________
> Bis hierher kann ich folgen. Aber was ich aus 8. für eine
> Schlußfolgerung ziehen soll verstehe ich ehrlich gesagt
> nicht.
> Wie bekomme ich denn die Kurve zu "...A*x=b hat eine Lösung
> x [mm]\in \IZ^n[/mm] für alle b [mm]\in \IZ^n[/mm] "...oder dient das nur
> zur Irreführung????
Nein, das ist schon wichtig. Allerdings bin ich gerade selber ein wenig verwirrt, aber ich denke, es müsste so sein:
Wenn das Gleichungssystem Ax=b eine eindeutige Lösung hat, dann hat doch auch [mm] A^{-1}x=b [/mm] eine eindeutige Lösung, oder? Denn wenn [mm] det(A)\not=0, [/mm] dann ist auch [mm] det(A^{-1})\not=0, [/mm] das folgt doch aus [mm] det(A^{-1})=\bruch{1}{det(A)}. [/mm] Wenn nun aber det(A) eine beliebige Zahl [mm] \notin\{\pm 1\} [/mm] wäre, dann wäre [mm] det(A^{-1})\notin\IZ. [/mm] Da aber eben auch für [mm] A^{-1}x=b [/mm] eine eindeutige Lösung existiert, muss laut Aussage auch [mm] det(A^{-1})\in\IZ [/mm] liegen.
Oder - ich formuliere es nochmal anders: Zu zeigen ist ja, dass genau dann eine eindeutige Lösung existiert, wenn [mm] det(A)=\pm [/mm] 1 gilt. Wegen gerade gesagtem gilt: Entweder gibt es für $Ax=b$ und für [mm] $A^{-1}x=b$ [/mm] eine eindeutige Lösung, oder für keins von beiden. Also ist zu zeigen: Für $Ax=b$ und für [mm] $A^{-1}x=b$ [/mm] gibt es eine eindeutige Lösung genau dann, wenn [mm] $det(A)=\pm [/mm] 1$ und [mm] $det(A^{-1})=\pm [/mm] 1$. Naja, und der Rest müsste eigentlich klar sein, oder immer noch nicht? Ich meine, wenn im Zähler eines Bruches eine 1 steht, dann kann der ganze Bruch doch nur eine ganze Zahl sein, wenn der Nenner auch 1 ist, oder wenn er -1 ist. Ok?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 19.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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