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| Aufgabe | Sei [mm]R=\IC [t][/mm] der Polynomring in einer Variablen über den komplexen Zahlen und [mm]K= \IC(t)[/mm] der zugehörige Quotientenkörper.
Formuliere (ohne Beweis) eine Version des Eisenstein-Kriteriums für den Körper [mm]K[/mm] indem du [mm]\IQ [/mm] durch [mm]k[/mm] und [mm]\IZ[/mm] durch [mm]R[/mm] ersetzt. Benutze dies, um die Irreduzibilität von
[mm]t*x^5+(t^2+t)*x^2+t+1 \in K[x] [/mm]
zu zeigen. |
In einem Buch (Artin,Algebra, S.465) habe ich folgende Version gefunden:
Sei [mm]f(t,x)[/mm] ein Element von [mm]\IC [t,x][/mm] aufgefasst als Polynom in [mm]x[/mm], dessen Koeffizienten Polynome in [mm]t[/mm] sind:
[mm]f(t,x)=a_n(t)x^n+...+a_1(t)x+a_0(t)[/mm].
Die folgenden Bedingungen seien erfüllt:
(i) [mm]t[/mm] teilt [mm]a_n(t)[/mm] nicht;
(ii)[mm]t[/mm] teilt alle anderen Koeffizienten [mm]a_(n-1) (t),...,a_0(t)[/mm];
(iii)[mm]t^2[/mm] teilt [mm]a_0(t)[/mm] nicht.
Dann ist [mm]f(t,x)[/mm] in dem Ring [mm]\IC(t)[x][/mm] irreduzibel. Ist [mm]f[/mm] primitiv, d.h. hat [mm]f[/mm] keinen Teiler, der nur von [mm]t[/mm] abhängt, so ist [mm]f[/mm] irreduzibel in [mm]\IC [t,x][/mm].
Nach dieser Version wird ja für das Primelement im Eisensteinkriterium [mm]t[/mm] verwendet. Kann man das einfach so machen, oder sollte man dazu noch sagen, dass [mm]t[/mm] irreduzibel und somit prim ist?
Wenn man jedoch diese Version mit [mm]t[/mm] als Primelement verwendet, kann man doch damit nicht zeigen, dass das in der Aufgabe gegebene Polynom irreduzibel ist, da schon [mm]t[/mm] den ersten Leitkoeffizienten [mm]a_n=t[/mm] teilt.
Heißt das, man muss ein anderes Primelement wählen?
Und wenn ja, wie kommt man darauf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für Tipps bin ich sehr dankbar !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 02.11.2008 | | Autor: | benji85 |
Also ich glaube die Koeffizienten müssen Polynome in t sein.
Hier müsste man p(t)=t+1 als primitives Polynom wählen... Dann klappts mit dem Eisensteinkriterium...
Oder?
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Ja, auf [mm] t+1 [/mm] hätte man durchaus kommen können... *rolleyes* manchmal bin ich einfach blind!
Vielen dank für die Hilfe !
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