Elektrisches Feld berechnen < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 06.01.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Man betrachte zwei konzentrische Kugeln mit Radius [mm] R_{1}\mbox{ bzw. \ensuremath{R_{2},R_{1} |
Hallo,
also ich wei nicht so recht, ob meine Ansätze stimmen: Eigentlich sollte das elektrische Feld nur für den Bereich [mm] R_1
Ich hatte vor dann die Formel [mm] E(\vec{r})=k\int d^{3}r'\,\rho(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vec{|r}-\vec{r}'|^{3}} [/mm] zu wählen, aber kann man das überhaupt damit machen? Das wäre mein nächstes Problem. Ich komme mit der Rechnung nicht weiter als mit dem Ansatz, weil ich nicht weiß, wie ich diesen letzten Teil [mm] \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vec{|r}-\vec{r}'|^{3}} [/mm] integrieren soll. Wenn ich [mm] \vec{r} [/mm] in Kugelkoordinaten ausdrücke, dann ist [mm] \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vec{|r}-\vec{r}'|^{3}} [/mm] ja immer noch ein Vektor, also kann ich das Integral irgendwie nicht berechnen. Wie muss ich das machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Do 06.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Man betrachte zwei konzentrische Kugeln mit Radius
> [mm]R_{1}\mbox{ bzw. \ensuremath{R_{2},R_{1}
> zwischen den Kugeln sei mit der Dichte
> [mm]\rho(\vec{r})=\begin{cases}
\frac{a}{r^{2}} & R_{1}
> und a>0 geladen. Bestimme das elektrische Feld in den drei
> Raumbereichen und anschließend das Potential.
> Hallo,
>
> also ich wei nicht so recht, ob meine Ansätze stimmen:
> Eigentlich sollte das elektrische Feld nur für den Bereich
> [mm]R_1
Nein, außerhalb auch.
>
> Ich hatte vor dann die Formel [mm]E(\vec{r})=k\int d^{3}r'\,\rho(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vec{|r}-\vec{r}'|^{3}}[/mm]
> zu wählen, aber kann man das überhaupt damit machen? Das
> wäre mein nächstes Problem. Ich komme mit der Rechnung
> nicht weiter als mit dem Ansatz, weil ich nicht weiß, wie
> ich diesen letzten Teil
> [mm]\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vec{|r}-\vec{r}'|^{3}}[/mm] integrieren
> soll. Wenn ich [mm]\vec{r}[/mm] in Kugelkoordinaten ausdrücke, dann
> ist [mm]\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vec{|r}-\vec{r}'|^{3}}[/mm] ja
> immer noch ein Vektor, also kann ich das Integral irgendwie
> nicht berechnen. Wie muss ich das machen?
Mit diesem Ansatz weiß ich auch nicht wie man weiter kommt, habe aber einen anderen Vorschlag:
Beginne mit der Maxwellgleichung:
[mm] $\vec{\nabla}*\vec{E} [/mm] = [mm] 4\pi\rho$
[/mm]
Ich verwende hier das Gaußsche cgs-Einheitensystem. Ist aber auch nicht so wichtig, die Formel unterscheidet sich nur vielleicht um einen Vorfaktor von dem, was du gewohnt bist. Das Vorgehen bleibt gleich.
Ich integriere die Gleichung über ein Volumen:
[mm] $\int [/mm] dV [mm] \: \vec{\nabla}*\vec{E} [/mm] = [mm] 4\pi \int [/mm] dV [mm] \: \rho$
[/mm]
Mit dem Satz von Gauß angewendet auf der linken Seite erhälst du:
[mm] $\oint \vec{E}*d\vec{A} [/mm] = [mm] 4\pi \int [/mm] dV [mm] \: \rho$
[/mm]
Nun ein bisschen Anschaung: Aus Symmetriegründen wird das E-Feld radial sein und somit parallel sein zu den Normalenvektoren der Flächenelemente dA, wenn ich Kugeloberflächen von Kuglen um den Koordinatenursprung betrachte, auf denen ich das Integral auf der linke Seite ausführe. So erhalte ich:
[mm] $\oint \vec{E}*d\vec{A} [/mm] = [mm] E(r)*4\pi{r^2}$
[/mm]
Dabei geht die Annahme mit ein, dass das E-Feld auf solchen Kugeloberflächen konstant ist, was wieder Symmetriebetrachtungen rechtfertigen.
Das Integral auf der rechten Seite oben vereinfache ich mithilfe von Kugelkoordinaten wie folgt:
[mm] $4\pi \int [/mm] dV [mm] \: \rho [/mm] = [mm] 4\pi \int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^r [/mm] dr' [mm] \: \rho(r') [/mm] r'^2 [mm] sin(\theta)$
[/mm]
Dabei muss ich natürlich die Jacobideterminante für Kugelkoordinaten [mm] $r^2 sin(\theta)$ [/mm] beachten.
Die Integrale über [mm] $\theta$ [/mm] und [mm] $\phi$ [/mm] können ausgeführt werden und man erhält:
[mm] $(4\pi)^2 \int_0^r [/mm] dr' [mm] \: \rho(r') [/mm] r'^2$
Zusammengefasst erhalte ich:
$E(r) = [mm] \frac{4\pi}{r^2} \int_0^r [/mm] dr [mm] \: \rho(r')r'^2$
[/mm]
Nun kannst du für die verschiedenen Teilbereiche das Integral über den Radius jeweil in Teilintegrale von 0 bis [mm] $R_1$, $R_1$ [/mm] bis [mm] $R_2$ [/mm] und außerhalb aufteilen.
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Fr 07.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Das kann man schon integrieren. Es gibt ein [mm] \overrightarrow{E(\overrightarrow{r})} [/mm] und nicht [mm] E(\overrightarrow{r}) [/mm] !
Erste Koordinate: [mm] E_{x} [/mm] = [mm] k*\integral_{}^{}{\bruch{x-x_{0}}{\wurzel{(x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} + (z-z_{0})^{2}}^{3}}*p*dx*dy*dz} [/mm]
Gruss
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