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Hallo!
Ich habe leider noch ein Problem mit dem Verständnis von Faktorgruppen, ich hoffe mir kann jemand helfen.
Hier ist das ganze mal am Beispiel der PSL-Gruppe:
[mm] SL_{2}(\IZ) [/mm] sind ja alle Matrizen mit Determinante 1 und einträgen in [mm] \IZ. [/mm] Die [mm] PSL_{2}(\IZ) [/mm] ist gleich [mm] SL_{2}(\IZ) [/mm] \ E, wobei E:= [mm] \{E_{2},-E_{2}\} [/mm] und [mm] E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix ist.
Nach dem Schema dass G [mm] \backslash [/mm] H = [mm] \{ gH | g \in G \} [/mm] ist, wären dann ja in unserem Falle die gH = {g, -g}, oder?
D.h. die PSL hätte dann halb soviele Elemente wie die SL (?), und zwar dadurch dass 2 Matrizen A, -A aus SL in der PSL zu einem Element (einer Menge) zusammengefasst werden.
D.h. [mm] PSL_{2}(\IZ) [/mm] = { {A,-A} | A [mm] \in SL_{2}(\IZ) [/mm] }?
Und wenn man dass dann nur mit Vertretern der Restlassen schreibt, dann wäre das [mm] PSL_{2}(\IZ) [/mm] = { [A] | A [mm] \in SL_{2}(\IZ) [/mm] }...?
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallo!
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> Ich habe leider noch ein Problem mit dem Verständnis von
> Faktorgruppen, ich hoffe mir kann jemand helfen.
Zunächst zur schreibweise. Eine Faktorgruppe wird G/H, nicht G \ H notiert.
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> Hier ist das ganze mal am Beispiel der PSL-Gruppe:
> [mm]SL_{2}(\IZ)[/mm] sind ja alle Matrizen mit Determinante 1 und
> einträgen in [mm]\IZ.[/mm] Die [mm]PSL_{2}(\IZ)[/mm] ist gleich [mm]SL_{2}(\IZ)[/mm]
> \ E, wobei E:= [mm]\{E_{2},-E_{2}\}[/mm] und [mm]E_{n}[/mm] die
> Einheitsmatrix ist.
>
> Nach dem Schema dass G [mm]\backslash[/mm] H = [mm]\{ gH | g \in G \}[/mm]
> ist, wären dann ja in unserem Falle die gH = {g, -g},
> oder?
Ja. Man schreibt diese Menge dann aber eher gemeinhin als [g] und bezeichnet sie als Äquivalenzklasse (so wie du es unten ja auch machst). Entscheidend ist noch, dass die Untergruppe die rausgeteilt wird ein Normalteiler sein muss, da sonst G/H keine Gruppenstruktur trägt.
> D.h. die PSL hätte dann halb soviele Elemente wie die SL
> (?),
Eine solche Aussage ist natürlich insofern nicht ganz sinnvoll, als dass sowohl SL(2, Z) als auch PSL(2, Z) unendlich viele Elemente enthalten.
Wäre SL(2,Z) eine endlich Gruppe, würde das aber so stimmen (Satz von Lagrange).
> und zwar dadurch dass 2 Matrizen A, -A aus SL in der
> PSL zu einem Element (einer Menge) zusammengefasst werden.
> D.h. [mm]PSL_{2}(\IZ) = { {A,-A} | A \in SL_{2}(\IZ)\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}?
> Und wenn man dass dann nur mit Vertretern der Restlassen
> schreibt, dann wäre das [mm]PSL_{2}(\IZ) = { [A] | A \in SL_{2}(\IZ)\}[/mm]
> ...?
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> Stimmt das soweit?
Ja. Entscheidend ist halt, dass das nicht irgendwelche wilden Mengen sind, sondern eben Äquivalenzklassen.
Grüße,
Berieux
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