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| Aufgabe | Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch.
Bsp: Die 18-elementige Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch.
Bew. davon: Durch die Klassifikation durch Teilerfolgen ist unsere Gruppe isomorph zu genau einer der folgenden beiden Gruppen: [mm] \IZ / 18 \IZ , \IZ / 6 \IZ x \IZ / 3 \IZ [/mm] . Es gilt also nur die 2. Möglichkeit auszuschließen. Im 2. Fall gäbe es jedoch in unserer Gruppe 8 Elemente der Ordnung 3 und 9 Elemente deren Ordnung 3 teilt. Das steht im Widerspruch dazu, dass das Polynom [mm] X^3 [/mm] in unserem Körper höchstens 3 Nullstellen hat. |
Hallo!
Ich bin inzwischen total verwirrt!
Also die 18-elementige UG der multiplikativen Gruppe des Körpers ist doch wieder multiplikativ, oder? Also müsste man auch die 2. Gruppe multiplikative aufschreiben können. Aber wie sieht das aus? Irgendwas mache ich falsch, denn da die zyklische Gruppe über 6 nur 5 Elemente hat (ohne 0-Element) und die über 3 nur 2, hat dann "6x3" nur 10 Elemente, was nicht stimmen kann.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? 
Liebe Grüße, Lily
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Hiho,
> Irgendwas mache ich falsch, denn da die zyklische Gruppe über 6 nur 5 Elemente hat (ohne 0-Element) und die über 3 nur 2, hat dann "6x3" nur 10 Elemente, was nicht stimmen kann.
du hast anscheinend das ![[]](/images/popup.gif) direkte Produkt nicht verstanden.
Wieso lässt du einfach so die 0 weg? Du kannst dir das direkte Produkt als 2-Tupel vorstellen, wobei das erste Element aus Gruppe 1 kommt, das zweite aus Gruppe 2.
Und als Anzahl aller möglichen 2-Tupel [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_1 \in \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ$ [/mm] und [mm] $x_2 \in \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ$ [/mm] erhält man eben [mm] $|\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ| [/mm] * | [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ| [/mm] = 6*3 = 18$ Elemente.
Gruß,
Gono
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Hallo Gono!
Danke für die schnelle Antwort!
Aber ich habe mich wohl missverständlich ausgedrückt. Ich weiß schon, wie das direkte Produkt funktioniert. Mein Problem bei diesem Beispiel ist die Verknüpfung der Multiplikation: eine multiplikative Gruppe kann nicht das 0-Element beinhalten, da dieses kein Inverses a hat mit 0*a=1. Aus diesem Grund (habe ich mal gelesen) hat eine multiplikative Gruppe ein Element weniger, also in diesem Fall lässt man bei [mm] \IZ / 6 \IZ [/mm] und [mm] \IZ / 3 \IZ [/mm] jeweils die 0 weg. Aber ich habe ja schon gemerkt, dass dann in der Zielgruppe [mm] \IZ / 6 \IZ x \IZ / 3 \IZ [/mm] zu wenig Elemente wären, nämlich nur 10 statt 18.
Also muss das irgendwie anders gehen.
Außerdem habe ich in der Zwischenzeit bemerkt, dass die Anzahl der Elemente mit der bestimmten Ordnung (also 8 Elemente der Ordnung 3 und 9 Elemente, deren Ordnung 3 teilt) genau stimmt, wenn man einfach annimmt, die Gruppe sei additiv.
Daher bin ich jetzt vollends verwirrt: wir befinden uns doch in der multiplikativen Gruppe eines Körpers, warum ist unsere Gruppe nun additiv???
Und noch ein Punkt im weiteren Verlauf des Beweises: Hier wird argumentiert, dass diese Anzahl der Elemente mit bestimmter Ordnung ein Widerspruch dazu ist, dass [mm] X^3-1 [/mm] nur 3 Nullstellen hat.
Was ist hier der Zusammenhang? Das verstehe ich nicht!
Irgendwie scheine ich auf einer riesen Wasserleitung zu stehen.
Kann mir jemand runter helfen?
Liebe Grüße, Lily
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Hiho,
> Mein Problem bei diesem Beispiel ist die Verknüpfung der Multiplikation: eine multiplikative Gruppe kann nicht das 0-Element beinhalten, da dieses kein Inverses a hat mit 0*a=1.
Korrekt
> Aus diesem Grund (habe ich mal gelesen) hat eine multiplikative Gruppe ein Element weniger
Als die Ausgangsgruppe!
> also in diesem Fall lässt man bei $ [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] $ und $ [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] $ jeweils die 0 weg.
Wenn du die multiplikative Gruppe von $ [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] $ und $ [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] $ betrachten würdest (im Normalfall mit [mm] $\left( \IZ / 6 \IZ\right)^\* [/mm] $ bzw [mm] $\left( \IZ / 3 \IZ \right)^\*$ [/mm] bezeichnet).
Die betrachtest du aber gerade gar nicht!
Darum mal ein bisschen Grundlage von vorne:
Ihr hattet bestimmt die Klassifikation endlicher Gruppen.
Danach ist jede abelsche Gruppe G mit $|G| = 18$ entweder Isomorph zu $ [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ \times \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] $ oder $ [mm] \IZ [/mm] / 18 [mm] \IZ [/mm] $.
Korrekt müsste man eigentlich schreiben: Danach ist jede abelsche Gruppe [mm] $(G,\circ_G)$ [/mm] mit $|G| = 18$ entweder Isomorph zu $( [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ \times \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ,+) [/mm] $ oder [mm] $(\IZ [/mm] / 18 [mm] \IZ,+) [/mm] $.
Im Normalfall lässt man die Operationen nur weg, wenn klar ist, welche Operationen gemeint sind.
In deinem Fall haben wir also eine 18-elementige Untergruppe U der multiplikativen Gruppe, also [mm] $(G,\circ_G) [/mm] = [mm] (U,\cdot)$.
[/mm]
Nun ist nach obigem Satz diese Gruppe eben entweder Isomorph zu $( [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ \times \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ,+) [/mm] $ oder [mm] $(\IZ [/mm] / 18 [mm] \IZ,+) [/mm] $
Beachte: Rein formal ist natürlich das "+" auf [mm] $\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ \times \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ$ [/mm] ein anderes als [mm] $\IZ [/mm] / 18 [mm] \IZ$.
[/mm]
Ergo: Du bist zwar auf einer multiplikativen Gruppe, die aber isomorph ist zu einer additiven!
Soweit klar?
> Und noch ein Punkt im weiteren Verlauf des Beweises: Hier wird argumentiert, dass diese Anzahl der Elemente mit bestimmter Ordnung ein Widerspruch dazu ist, dass $ [mm] X^3-1 [/mm] $ nur 3 Nullstellen hat.
> Was ist hier der Zusammenhang? Das verstehe ich nicht!
Na nimm mal an, deine Untergruppe [mm] $(U,\cdot)$ [/mm] wäre Isomorph zu $( [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ \times \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ,+) [/mm] $, dann gäbe es 8 Elemente der Ordnung 3 in U.
Nennen wir die mal [mm] $u_1,\ldots,u_8$
[/mm]
Was wäre dann [mm] $u_1^3,\ldots,u_8^3$? [/mm] Und demzufolge [mm] $u_i^3 [/mm] - 1$ für [mm] $i\in\{1,\ldots,8\}$?
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mi 17.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo! Vielen Dank!!
> Danach ist jede abelsche Gruppe G mit [mm]|G| = 18[/mm] entweder
> Isomorph zu [mm]\IZ / 6 \IZ \times \IZ / 3 \IZ[/mm] oder [mm]\IZ / 18 \IZ [/mm].
>
> Korrekt müsste man eigentlich schreiben: Danach ist jede
> abelsche Gruppe [mm](G,\circ_G)[/mm] mit [mm]|G| = 18[/mm] entweder Isomorph
> zu [mm]( \IZ / 6 \IZ \times \IZ / 3 \IZ,+)[/mm] oder [mm](\IZ / 18 \IZ,+) [/mm].
>
Achso! Dass das generell so gilt, war mir nicht klar!
>
> Na nimm mal an, deine Untergruppe [mm](U,\cdot)[/mm] wäre Isomorph
> zu [mm]( \IZ / 6 \IZ \times \IZ / 3 \IZ,+) [/mm], dann gäbe es 8
> Elemente der Ordnung 3 in U.
> Nennen wir die mal [mm]u_1,\ldots,u_8[/mm]
> Was wäre dann [mm]u_1^3,\ldots,u_8^3[/mm]? Und demzufolge [mm]u_i^3 - 1[/mm]
> für [mm]i\in\{1,\ldots,8\}[/mm]?
>
Ja, die [mm] u_i^3=1 [/mm] und damit hätte [mm] X^3-1 [/mm] mindestens 8 Nullstellen, was nicht sein kann!
Vielen Dank!
Liebe Grüße, Lily
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