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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Di 10.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | Ein Stab, auf dem drei Punkte markiert sind, bewegt sich in der Ebene so, dass zwei der Punkte auf der Koordinatenachsen laufen. Dann bewegt sich der dritte Punkt auf der Ellipse.
Beweis:
Sei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen Stab und der x2-Achse
Dann gilt:
1. (Beschreibung des Bildes: Stab beginnt in x2-Achse im Punkt A mit [mm] \alpha, [/mm] schneidet x1-Achse in B; Abstand AB=r; Stab geht noch weiter bis zum Punkt X, der dann auf Ellipse liegen soll (Abstand BX=s)
x1= [mm] (r+s)sin(\alpha [/mm] )
x2=-s [mm] cos(\alpha [/mm] )
2. (Stab etwas nach oben verschoben, ????gleicher Winkel???? laut Bild ja) X nun zwischen A und B; AX=r, XB=s; Es ergibt sich
x1= r [mm] sin(\alpha [/mm] )
x2 = s [mm] cos(\alpha [/mm] )
Elimination von [mm] \alpha [/mm] mit [mm] cos^2(\alpha )+sin^2(\alpha [/mm] )=1 ergibt Ellipsengleichung |
Hi!
Mir ist nicht ganz kalr, wie auf diese Weise eine Ellipse entstehen soll. Variert der Winkel [mm] \alpha [/mm] ? Dann könnte ich mir das vorstellen.
Den letzten Teil versteh ich nicht - Also wie man von den zwei verschiedenen x-Werten auf die Ellipsengleichung kommt?
Direktes Einsetzen in Ellipsengleichung liefert mit komplizierte Ausdrücke.
Vielleicht kann mir da jemand helfen!
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> Ein Stab, auf dem drei Punkte markiert sind, bewegt sich in
> der Ebene so, dass zwei der Punkte auf der
> Koordinatenachsen laufen. Dann bewegt sich der dritte Punkt
> auf der Ellipse.
> Beweis:
> Sei [mm]\alpha[/mm] der Winkel zwischen Stab und der x2-Achse
> Dann gilt:
> 1. (Beschreibung des Bildes: Stab beginnt in x2-Achse im
> Punkt A mit [mm]\alpha,[/mm] schneidet x1-Achse in B; Abstand AB=r;
> Stab geht noch weiter bis zum Punkt X, der dann auf Ellipse
> liegen soll (Abstand BX=s)
> x1= [mm](r+s)sin(\alpha[/mm] )
> x2=-s [mm]cos(\alpha[/mm] )
> 2. (Stab etwas nach oben verschoben, ????gleicher
> Winkel???? laut Bild ja) X nun zwischen A und B; AX=r,
> XB=s; Es ergibt sich
> x1= r [mm]sin(\alpha[/mm] )
> x2 = s [mm]cos(\alpha[/mm] )
> Elimination von [mm]\alpha[/mm] mit [mm]cos^2(\alpha )+sin^2(\alpha[/mm]
> )=1 ergibt Ellipsengleichung
> Hi!
> Mir ist nicht ganz kalr, wie auf diese Weise eine Ellipse
> entstehen soll. Variert der Winkel [mm]\alpha[/mm] ? Dann könnte ich
> mir das vorstellen.
Vielleicht hilft Dir dieses ![[]](/images/popup.gif) dynamische Modell der Papierstreifenkonstruktion (Deinem Punkt A entspricht P und Deinem Punkt B entspricht Q). Einfach mit der Maus an P in vertikaler Richtung, d.h. in [mm] $x_1$-Richtung, [/mm] ziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 10.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Hey danke - das hilft mir anschaulich weiter. Mir ist aber leider immer noch nicht klar, wie ich rechnerisch zeigen kann, dass es sich u eine Ellipse handelt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \alpha= [/mm] Winkel der Geraden PE zur x Achse a sei die Laenge PL
die Laenge PQ=a-b der Punkt P auf der yAchse habe die Werte [mm] (0,y_p)
[/mm]
Dann kannst du direkt ablesen: [mm] x/a=cos\alpha
[/mm]
und [mm] (y-y_p)/a=sin\alpha
[/mm]
ausserdem [mm] y_p/(a-b)=sin\alpha
[/mm]
und natuerlich aendert sich [mm] \alpha!
[/mm]
Du hast also ne Parametergl fuer x mit parameter [mm] \alpha.
[/mm]
Wenn du [mm] \alpha [/mm] eliminierst hast du die implizite darstellung der Ellipse.
Meine Bezeichng. beziehen sich auf das Bildchen in dem link.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 10.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
danke, ich denke solangsam wirds. aber ein problem hab ich noch: was ist bei dir die Länge PL?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Di 10.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
als ich glaub ich habs jetzt begriffen, unabhängig davon, was du mit PL meintest. wenn ich quadriere erhalte ich ja wegen [mm] cos^2 +sin^2 [/mm] =1 die ellipsengelichung. dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
keine Ahnung, wie PL da reinkam, war ein Geist. ich habs ja auch nicht verwendet.
Gruss leduart
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